打字猴:1.701040391e+09
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1701040392 f-l+v=2.
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1701040394 表面上看,似乎它和一笔画、地图着色问题不一样,凸多面体是平直图形,不能随意变形.但只要对Euler多面体定理稍加推广,就可看出它的“拓扑”特性了.
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1701040399 图4
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1701040401 把多面体放进一个大球体内,使球心在多面体内部.于是,从球心作的中心投影把凸多面体的棱映射成球面上的曲线(实际上是大圆弧),顶点映成球面上的点.这些点和大圆弧构成球面上的一个图(网络)(图4),它把球面分割成f块,有l条枝(大圆弧)和v个节点.
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1701040403 一般地,球面上的图是由球面上有限个点(称为节点)和有限条曲线(称为枝)所构成的图形,它必须满足:
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1701040405 (1)每条枝的端点是两个不同节点;
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1701040407 (2)不同的枝不交叉,即不相交于内点;
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1701040409 (3)每条枝不自交.
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1701040411 Euler定理可以推广为
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1701040413 定理1 球面上一个连通的图的节点数v,枝数l以及它分割球面所成的面块数f满足公式
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1701040415 f-l+v=2.
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1701040417 这种推广了的Euler定理具有拓扑特性:一方面,当图在球面上变形时,f,l和v这3个数不会变化;另一方面,当球面本身变形时(其上图也随着变形)f,l和v也不会变化.球面可以变形为椭球面、葫芦形或其他各种形状的曲面,对这些曲面定理l照样成立.但有的曲面不能由球面变形而得到,例如环面.事实上定理1对环面不适用,相应的定理为
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1701040419 定理2 环面上一个连通图若分割环面成一些简单面块(即没有洞的面块),则面块数f,图的枝数l和节点数v满足公式
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1701040421 f-l+v=0.
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1701040423 对于更复杂一些的曲面,f-l+v是个负数.以上的事实说明整数f-l+v与曲面上(适合条件的)图的选择无关,完全由曲面本身决定.这个数被称为曲面的Euler数,它反映出曲面的一种几何性质,当曲面被变形时,它是不会改变的.
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1701040425 以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质,它们涉及到图形在整体结构上的特性,这就是“拓扑性质”.显然,它们与几何图形的大小、形状,以及所含线段的曲直等等都无关,也就不能用普通的几何方法来处理,需要有一种新的几何学来研究它们,这个新学科就是拓扑学(希文Topology的译音).也有人形象地称它为橡皮几何学,因为它研究的性质在图形作弹性形变时是不会改变的.
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1701040427 现在我们对拓扑性质作进一步的分析.如前所述,既然拓扑性质体现的是图形整体结构上的特性,可以随意地把图形作变形(如挤压、拉伸或扭曲等等),只要不把它撕裂,不发生粘连,从而不破坏其整体结构,拓扑性质将保持不变.把上述变形称为图形的“拓扑变换”,那么拓扑性质就是几何图形在作拓扑变换时保持不变的性质.拓扑变换可用集合与映射的语言给出确切的描述.把图形M变形为M′,就是给出M到M′(都看作点集)的一个一一对应(因而不出现重叠现象,并不产生新点)f:M→M′,并且f连续(表示不撕裂),f-1:M′→M也连续(表示不粘连).这里所说的连续就是分析学中的连续概念,可用距离概念刻画.简单地说:从图形M到M′的一个一一对应f,如果f与f-1都是连续的,就称f为从M到M′的一个拓扑变换,并称M与M′是同胚的.于是,拓扑性质也就是同胚的图形所共同具有的几何性质.拓扑学中往往对同胚的图形不加区别,因为它们的拓扑性质是一样的.
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1701040429 上面从拓扑变换或同胚概念来描述拓扑性质.反过来拓扑性质又是研究图形同胚问题的一个有力武器.判断两个图形是否同胚,这自然是拓扑学的一个基本问题.如果能构造从M到M′的拓扑变换,当然M与M′同胚,可是当经过努力而构造不出拓扑变换时,我们并不能由此认定M与M′不同胚.断定不同胚的有效途径是比较它们的拓扑性质,如果它们有不相同的拓扑性质,则它们一定不同胚.例如日字形和田字形不同胚,因为前者能一笔写出,后者不能.又如球面与环面的Euler数不相等,因此它们不同胚.因此,寻找和研究图形的各种各样的拓扑性质是拓扑学的基本的研究课题.
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1701040431 规定拓扑变换时,映射的连续性是关键概念,因而它也是整个拓扑学的基本概念.也可以说拓扑学是研究连续现象的数学分支.连续性也是分析学的最基本的概念,因而拓扑学和分析学有着十分密切的关系.拓扑学的概念、结果和方法广泛地应用到分析学的各个领域中.特别是分析学中只和连续概念相关(而与可微性无关)的那些问题本质上都是拓扑问题.著名的Brouwer不动点定理就是其中的一个例子.把n维欧氏空间En中的子集
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1701040436 称为n维单位球体.Brouwer定理说:Dn到自身的连续映射f:Dn→Dn一定有不动点,即存在点x∈Dn,使得f(x)=x.当n=1时,不难用闭区间上连续函数的性质证明此定理(请读者自己证明).当n≥2时,就不容易了.由于定理中f只是连续的,因此分析学中与微分有关的工具都不能直接用上.本书中将用基本群和同调群作为工具给出它的证明.
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1701040438 另一个例子是Jordan曲线定理.简略地讲,该定理说平面(或球面)被它上面的一条简单闭曲线分割为两部分.这是一个应用广泛的著名定理,直观上容易接受,仿佛是不证自明的.但仔细想想,会发现它并不简单.首先定理怎样用严谨的数学语言叙述?为此必须用到拓扑学的术语,如简单闭曲线就是与圆周同胚的图形,它在几何上可以是相当复杂的;所谓“被分割为两部分”,则要用拓扑概念“连通”来严格叙述.定理不但需要证明,并且还不是三言两语所能完成的.我们在本书的第四章中将以基本群为工具给出它的一个证明.
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1701040440 随着学习的深入,读者还将见到许多有趣的应用拓扑学解决分析学问题的例子.拓扑学与微分几何、动力系统等学科也都有着十分密切的联系.
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