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f－l＋v＝0．
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对于更复杂一些的曲面，f－l＋v是个负数．以上的事实说明整数f－l＋v与曲面上（适合条件的）图的选择无关，完全由曲面本身决定．这个数被称为曲面的Euler数，它反映出曲面的一种几何性质，当曲面被变形时，它是不会改变的．
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以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质，它们涉及到图形在整体结构上的特性，这就是“拓扑性质”．显然，它们与几何图形的大小、形状，以及所含线段的曲直等等都无关，也就不能用普通的几何方法来处理，需要有一种新的几何学来研究它们，这个新学科就是拓扑学（希文Topology的译音）．也有人形象地称它为橡皮几何学，因为它研究的性质在图形作弹性形变时是不会改变的．
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现在我们对拓扑性质作进一步的分析．如前所述，既然拓扑性质体现的是图形整体结构上的特性，可以随意地把图形作变形（如挤压、拉伸或扭曲等等），只要不把它撕裂，不发生粘连，从而不破坏其整体结构，拓扑性质将保持不变．把上述变形称为图形的“拓扑变换”，那么拓扑性质就是几何图形在作拓扑变换时保持不变的性质．拓扑变换可用集合与映射的语言给出确切的描述．把图形M变形为M′，就是给出M到M′（都看作点集）的一个一一对应（因而不出现重叠现象，并不产生新点）f：M→M′，并且f连续（表示不撕裂），f-1：M′→M也连续（表示不粘连）．这里所说的连续就是分析学中的连续概念，可用距离概念刻画．简单地说：从图形M到M′的一个一一对应f，如果f与f-1都是连续的，就称f为从M到M′的一个拓扑变换，并称M与M′是同胚的．于是，拓扑性质也就是同胚的图形所共同具有的几何性质．拓扑学中往往对同胚的图形不加区别，因为它们的拓扑性质是一样的．
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上面从拓扑变换或同胚概念来描述拓扑性质．反过来拓扑性质又是研究图形同胚问题的一个有力武器．判断两个图形是否同胚，这自然是拓扑学的一个基本问题．如果能构造从M到M′的拓扑变换，当然M与M′同胚，可是当经过努力而构造不出拓扑变换时，我们并不能由此认定M与M′不同胚．断定不同胚的有效途径是比较它们的拓扑性质，如果它们有不相同的拓扑性质，则它们一定不同胚．例如日字形和田字形不同胚，因为前者能一笔写出，后者不能．又如球面与环面的Euler数不相等，因此它们不同胚．因此，寻找和研究图形的各种各样的拓扑性质是拓扑学的基本的研究课题．
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规定拓扑变换时，映射的连续性是关键概念，因而它也是整个拓扑学的基本概念．也可以说拓扑学是研究连续现象的数学分支．连续性也是分析学的最基本的概念，因而拓扑学和分析学有着十分密切的关系．拓扑学的概念、结果和方法广泛地应用到分析学的各个领域中．特别是分析学中只和连续概念相关（而与可微性无关）的那些问题本质上都是拓扑问题．著名的Brouwer不动点定理就是其中的一个例子．把n维欧氏空间En中的子集
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称为n维单位球体．Brouwer定理说：Dn到自身的连续映射f：Dn→Dn一定有不动点，即存在点x∈Dn，使得f（x）＝x．当n＝1时，不难用闭区间上连续函数的性质证明此定理（请读者自己证明）．当n≥2时，就不容易了．由于定理中f只是连续的，因此分析学中与微分有关的工具都不能直接用上．本书中将用基本群和同调群作为工具给出它的证明．
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另一个例子是Jordan曲线定理．简略地讲，该定理说平面（或球面）被它上面的一条简单闭曲线分割为两部分．这是一个应用广泛的著名定理，直观上容易接受，仿佛是不证自明的．但仔细想想，会发现它并不简单．首先定理怎样用严谨的数学语言叙述？为此必须用到拓扑学的术语，如简单闭曲线就是与圆周同胚的图形，它在几何上可以是相当复杂的；所谓“被分割为两部分”，则要用拓扑概念“连通”来严格叙述．定理不但需要证明，并且还不是三言两语所能完成的．我们在本书的第四章中将以基本群为工具给出它的一个证明．
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随着学习的深入，读者还将见到许多有趣的应用拓扑学解决分析学问题的例子．拓扑学与微分几何、动力系统等学科也都有着十分密切的联系．
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拓扑学是一门年青而富有生命力的学科．它萌发于17、18世纪，但到19世纪末才开始得到发展．本世纪以来，拓扑学是数学中发展最迅猛，研究成果最丰富的研究领域，成为十分重要的数学基础学科．拓扑学有多个研究方向，早期分为一般拓扑学和代数拓扑学，后来又出现了微分拓扑学和低维流形等研究方向．本书是代数拓扑学的入门教材，重点是介绍代数拓扑学中最简单的内容和一些基础知识．但我们也需要介绍拓扑空间和连续映射等最基础的拓扑学概念．如前所述，拓扑学是用抽象的语言和公理化的方式来阐述其概念的．特别是广泛使用集合论的语言．我们希望读者先要有较好的有关集合论的基础知识．下面择要介绍本书中最常用的有关集合与映射的概念和性质，既为学习正文作准备，也是为了统一术语和符号．
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1．集合的运算
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常用记号
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设X是非空集合，记2X是X的全体子集（包括X及空集∅）的集合，称为X的幂集．
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一点x构成的集合记作｛x｝．
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x∈A表示x是集合A中的一个元素．
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（或xA）表示x不是集合A的元素．
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A⊂B表示A包含于B（含A＝B的情形）．
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A⊄B表示A不包含于B，即A中有不属于B的元素．
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现在列出2X中的几种运算及它们的性质．
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交∩ 如A∩B是A和B之交；表示集合族｛Aλ｜λ∈Λ｝中所有集合之交．
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并∪ 如A∪B是A和B之并；表示集合族｛Aλ｜λ∈Λ｝中所有集合之并．
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