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随着学习的深入,读者还将见到许多有趣的应用拓扑学解决分析学问题的例子.拓扑学与微分几何、动力系统等学科也都有着十分密切的联系.
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拓扑学是一门年青而富有生命力的学科.它萌发于17、18世纪,但到19世纪末才开始得到发展.本世纪以来,拓扑学是数学中发展最迅猛,研究成果最丰富的研究领域,成为十分重要的数学基础学科.拓扑学有多个研究方向,早期分为一般拓扑学和代数拓扑学,后来又出现了微分拓扑学和低维流形等研究方向.本书是代数拓扑学的入门教材,重点是介绍代数拓扑学中最简单的内容和一些基础知识.但我们也需要介绍拓扑空间和连续映射等最基础的拓扑学概念.如前所述,拓扑学是用抽象的语言和公理化的方式来阐述其概念的.特别是广泛使用集合论的语言.我们希望读者先要有较好的有关集合论的基础知识.下面择要介绍本书中最常用的有关集合与映射的概念和性质,既为学习正文作准备,也是为了统一术语和符号.
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1.集合的运算
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常用记号
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设X是非空集合,记2X是X的全体子集(包括X及空集∅)的集合,称为X的幂集.
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一点x构成的集合记作{x}.
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x∈A表示x是集合A中的一个元素.
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(或xA)表示x不是集合A的元素.
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A⊂B表示A包含于B(含A=B的情形).
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A⊄B表示A不包含于B,即A中有不属于B的元素.
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现在列出2X中的几种运算及它们的性质.
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交∩ 如A∩B是A和B之交;表示集合族{Aλ|λ∈Λ}中所有集合之交.
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并∪ 如A∪B是A和B之并;表示集合族{Aλ|λ∈Λ}中所有集合之并.
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交并运算各自都满足交换律与结合律.
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交与并有分配律:
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(2)
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差 AB表示属于A而不属于B的元素的集合.
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余集 Ac:=XA.
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显然AB=A∩Bc.
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De Morgan公式:
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