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De Morgan公式:
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(3)
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(4)
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特别当B=X为全集时,(3)和(4)分别变为
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(5)
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(6)
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2.映射
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设X和Y都是集合,映射f:X→Y是一个对应关系,使∀x∈X,对应着Y中的一点f(x)(称为x的像点).
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若A⊂X,记f(A):={f(x)|x∈A},是Y的一个子集,称为A在f下的像.若B⊂Y,记f-1(B):={x∈X|f(x)∈B},称为B在f下的完全原像(或简称原像).
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当f(X)=Y时,称f是满的;若X中不同点的像点也不同,则称f是单的.既单又满的映射称为一一对应.当f是一一对应时,它就有一个逆映射,记作f-1.此时,∀B⊂Y,f-1(B)有两种理解:B在f下的原像;B在f-1下的像,它们的意义是一致的.
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关于f下的像与原像有如下规律:
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(1)
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(2)
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(3)f-1(Bc)=(f-1(B))c;
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(4)f-1(B\D)=f-1(B)\f-1(D);
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(5)
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(6)当f单时为相等;
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(7)f(f-1(B))⊂B,当f满时为相等;
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(8)f-1(f(A))⊃A,当f单时为相等.
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设f:X→Y和g:Y→Z都是映射,f与g的复合(或称乘积)是X到Z的映射,记作gf:X→Z,规定为gf(x)=g(f(x)),∀x∈X.则有
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