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(6)当f单时为相等;
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(7)f(f-1(B))⊂B,当f满时为相等;
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(8)f-1(f(A))⊃A,当f单时为相等.
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设f:X→Y和g:Y→Z都是映射,f与g的复合(或称乘积)是X到Z的映射,记作gf:X→Z,规定为gf(x)=g(f(x)),∀x∈X.则有
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(9)gf(A)=g(f(A));
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(10)(gf)-1(B)=f-1(g-1(B)).
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集合X到自身的恒同映射(保持每一点不变)记作idX:X→X(常简记为id).若f:X→Y是映射,A⊂X,规定f在A上的限制为f|A:A→Y,∀x∈A,f|A(x)=f(x).记i:A→X为包含映射,即∀x∈A,i(x)=x.于是,i=id|A,f|A=fi.
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3.笛卡儿积
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设X1和X2都是集合,称集合
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X1×X2:={有序偶(x,y)|x∈X,y∈Y}
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为X1与X2的笛卡儿积.称x和y为(x,y)的坐标.
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n个集合的笛卡儿积X1×X2×…×Xn可类似地定义.
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记例如Rn={(x1,…,xn)|xi∈R},称X2=X×X的子集
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Δ(X):={(x,x)|∀x∈X}
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为对角子集(常简记作Δ).
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4.等价关系
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集合X上的一个关系R是X×X的一个子集,当(x1,x2)∈R时,说x1与x2R相关,记作x1Rx2.
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集合X的一个关系R称为等价关系,如果满足:
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(1)自反性:∀x∈X,xRx(即Δ(X)⊂R);
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(2)对称性:若x1Rx2,则x2Rx1;
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(3)传递性:若x1Rx2,x2Rx3,则x1Rx3.
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