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设f：X→Y和g：Y→Z都是映射，f与g的复合（或称乘积）是X到Z的映射，记作gf：X→Z，规定为gf（x）＝g（f（x）），∀x∈X．则有
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（9）gf（A）＝g（f（A））；
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（10）（gf）-1（B）＝f-1（g-1（B））．
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集合X到自身的恒同映射（保持每一点不变）记作idX：X→X（常简记为id）．若f：X→Y是映射，A⊂X，规定f在A上的限制为f｜A：A→Y，∀x∈A，f｜A（x）＝f（x）．记i：A→X为包含映射，即∀x∈A，i（x）＝x．于是，i＝id｜A，f｜A＝fi．
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3．笛卡儿积
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设X1和X2都是集合，称集合
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X1×X2：＝｛有序偶（x，y）｜x∈X，y∈Y｝
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为X1与X2的笛卡儿积．称x和y为（x，y）的坐标．
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n个集合的笛卡儿积X1×X2×…×Xn可类似地定义．
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记例如Rn＝｛（x1，…，xn）｜xi∈R｝，称X2＝X×X的子集
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Δ（X）：＝｛（x，x）｜∀x∈X｝
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为对角子集（常简记作Δ）．
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4．等价关系
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集合X上的一个关系R是X×X的一个子集，当（x1，x2）∈R时，说x1与x2R相关，记作x1Rx2．
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集合X的一个关系R称为等价关系，如果满足：
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（1）自反性：∀x∈X，xRx（即Δ（X）⊂R）；
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（2）对称性：若x1Rx2，则x2Rx1；
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（3）传递性：若x1Rx2，x2Rx3，则x1Rx3．
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等价关系常用～表示，如x1Rx2记作x1～x2，称为x1等价于x2．当X上有等价关系～时，可把X分成许多子集：凡是互相等价的点属同一子集．称每个子集为一个～等价类，记X/～是全部等价类的集合，称为X关于～的商集．∀x∈X所在等价类记作〈x〉．于是
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X/～＝｛〈x〉｜x∈X｝．
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