打字猴:1.701040641e+09
1701040641 (1)正定性:d(x,x)=0,∀x∈X,
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1701040643        d(x,y)>0,当x≠y;
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1701040645 (2)对称性:d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X;
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1701040647 (3)三角不等式:
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1701040649   d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z), ∀x,y,z∈X.
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1701040651 当集合X上规定了一个度量d后,称为度量空间,记作(X,d).
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1701040653 例4 记Rn={(x1,x2,…,xn)|xi∈R,i=1,…,n}.规定Rn上的度量d为:
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1701040658 不难验证d满足(1),(2),(3).记En=(Rn,d),称为n维欧氏空间.
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1701040660 设(X,d)是一个度量空间,我们来规定X的一个拓扑.
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1701040662 设x0∈X,ε是一正数,称X的子集
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1701040664      B(x0,ε):={x∈X|d(x0,x)<ε}
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1701040666 为以x0为心,ε为半径的球形邻域.
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1701040668 引理 (X,d)的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集.
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1701040671 证明 设U=B(x1,ε1)∩B(x2,ε2).∀x∈U,则εi-d(x,xi)>0(i=1,2).记εx=min{ε1-d(x,x1),ε2-d(x,x2)}(图1-1),不难验证B(x,εx)⊂U.于是
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1701040676 图1-1
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1701040678 规定X的子集族τd={U|U是若干个球形邻域的并集}.
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1701040680 命题1.1 τd是X上的一个拓扑.
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1701040682 证明 τd满足拓扑公理(1)和(2)是明显的.下面验证τd满足拓扑公理(3).
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1701040685 设U,U′∈τd,记则
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