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（1）正定性：d（x，x）＝0，∀x∈X，
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d（x，y）＞0，当x≠y；
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（2）对称性：d（x，y）＝d（y，x），∀x，y∈X；
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（3）三角不等式：
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d（x，z）≤d（x，y）＋d（y，z）， ∀x，y，z∈X．
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当集合X上规定了一个度量d后，称为度量空间，记作（X，d）．
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例4 记Rn＝｛（x1，x2，…，xn）｜xi∈R，i＝1，…，n｝．规定Rn上的度量d为：
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不难验证d满足（1），（2），（3）．记En＝（Rn，d），称为n维欧氏空间．
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设（X，d）是一个度量空间，我们来规定X的一个拓扑．
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设x0∈X，ε是一正数，称X的子集
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B（x0，ε）：＝｛x∈X｜d（x0，x）＜ε｝
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为以x0为心，ε为半径的球形邻域．
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引理 （X，d）的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集．
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证明 设U＝B（x1，ε1）∩B（x2，ε2）．∀x∈U，则εi－d（x，xi）＞0（i＝1，2）．记εx＝min｛ε1－d（x，x1），ε2－d（x，x2）｝（图1-1），不难验证B（x，εx）⊂U．于是
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图1-1
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规定X的子集族τd＝｛U｜U是若干个球形邻域的并集｝．
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命题1.1 τd是X上的一个拓扑．
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证明 τd满足拓扑公理（1）和（2）是明显的．下面验证τd满足拓扑公理（3）．
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设U，U′∈τd，记则
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