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根据引理，对任何再由拓扑公理（2），得出U∩U′∈τd． ▎
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称τd为X上由度量d决定的度量拓扑．每个度量空间都自然地看成具有度量拓扑的拓扑空间，从而欧氏空间En是拓扑空间（其度量拓扑称为欧氏拓扑）．从这个意义上讲，拓扑空间是欧氏空间和度量空间的推广．三条拓扑公理也正是从度量空间的开集所具有的最基本的性质中抽象出来的．
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1.3 拓扑空间中的几个基本概念
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下面要讲的几个基本的拓扑概念在欧氏空间和度量空间中都已出现过，但现在用开集概念来规定它们．
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1．闭集
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定义1.2 拓扑空间X的一个子集A称为闭集，如果Ac是开集．
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也就是说，闭集就是开集的余集，反过来开集一定是一个闭集的余集．例如在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，从而任何子集也都是闭集；平凡拓扑空间X中，只有两个闭集：X＝∅c和∅＝Xc．在（R，τf）中，闭集或是X，或为有限集；而（R，τc）中的闭集是X或可数集．
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命题1.2 拓扑空间的闭集满足：
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（1）X与∅都是闭集；
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（2）任意多个闭集的交集是闭集；
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（3）有限个闭集的并集是闭集．
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证明 这是由三条拓扑公理推出的．（2）和（3）分别由拓扑公理（2）和（3）应用De Morgan公式推出．（1）是因为∅和X都是开集． ▎
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2．邻域、内点和内部
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定义1.3 设A是拓扑空间X的一个子集，点x∈A．如果存在开集U，使得x∈U⊂A，则称x是A的一个内点，A是x的一个邻域．A的所有内点的集合称为A的内部，记作
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命题1.3 （1）若A⊂B，则
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（2）是包含在A中的所有开集的并集，因此是包含在A中的最大开集；
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（3）是开集；
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（4）
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（5）
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