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τA：＝｛U∩A｜U∈τ｝．
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容易验证τA，是A上的一个拓扑，称为τ导出的A上的子空间拓扑，称（A，τA）为（X，τ）的子空间．
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以后，对拓扑空间的子集都将看作拓扑空间，即子空间．
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现在设A是拓扑空间（X，τ）的子集，B又是A的子集．于是B有两个途径得到子空间拓扑：直接作为X的子空间和看作（A，τA）的子空间．事实上它们是一样的，记（τA）B是τA导出的B上的拓扑，则
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（τA）B＝｛V∩B｜V∈τA｝＝｛（U∩A）∩B｜U∈τ｝
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＝｛U∩B｜U∈τ｝＝τB．
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对于度量空间（X，d）的子集A，也有两种途径得到拓扑：一种途径是直接看作（X，τd）的子空间；另一种途径是由d在A上的限制得到A上的度量dA，它决定A的度量拓扑．这两个拓扑也是相同的（证明略）．
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对于子空间A的子集U，笼统地说U是不是开集意义就不明确了，必须说明在A中看还是在全空间中看，这两者是不同的．例如，E1是E2的子空间，开区间（0，1）在E1中是开集，而在E2中不是开集．因此开集概念是相对概念．同样，闭集、邻域、内点、内部、聚点和闭包等等概念也都是相对概念．
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命题1.6 设X是拓扑空间，C⊂A⊂X，则C是A的闭集C是A与X的一个闭集之交集．
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证明 C是A的闭集AC是A的开集
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存在X中开集U，使得AC＝U∩A
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存在X中开集U，使得C＝Uc∩A
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C是X中一个闭集与A之交集． ▎
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命题1.7 设X是拓扑空间，B⊂A⊂X，则
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（1）若B是X的开（闭）集，则B也是A的开（闭）集；
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（2）若A是X的开（闭）集，B是A的开（闭）集，则B也是X的开（闭）集．
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证明 （1）B＝B∩A，因此当B是X的开（闭）集时，根据子空间拓扑的定义（命题1.6），B也是A的开（闭）集．
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（2）设B是A的开（闭）集，根据子空间拓扑的定义（命题1.6），存在X的开（闭）集U，使得B＝U∩A．而A也是X中开（闭）集，因此B是X的开（闭）集． ▎
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习 题
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1．写出集合X＝｛a，b｝的所有拓扑．
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2．设X＝｛x，y，z｝．X的下列子集族是不是拓扑？如果不是，请添加最少的子集，使它成为拓扑．
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（1）｛X，∅，｛x｝，｛y，z｝｝；
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（2）｛X，∅，｛x，y｝，｛x，z｝｝；