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（2）若A是X的开（闭）集，B是A的开（闭）集，则B也是X的开（闭）集．
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证明 （1）B＝B∩A，因此当B是X的开（闭）集时，根据子空间拓扑的定义（命题1.6），B也是A的开（闭）集．
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（2）设B是A的开（闭）集，根据子空间拓扑的定义（命题1.6），存在X的开（闭）集U，使得B＝U∩A．而A也是X中开（闭）集，因此B是X的开（闭）集． ▎
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习 题
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1．写出集合X＝｛a，b｝的所有拓扑．
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2．设X＝｛x，y，z｝．X的下列子集族是不是拓扑？如果不是，请添加最少的子集，使它成为拓扑．
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（1）｛X，∅，｛x｝，｛y，z｝｝；
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（2）｛X，∅，｛x，y｝，｛x，z｝｝；
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（3）｛X，∅，｛x，y｝，｛x，z｝，｛y，z｝｝．
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3．规定实数集R上的子集族τ＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝（a＝－∞，则（－∞，a）表示∅；a＝＋∞，则（－∞，a）＝R）．证明τ是R上的一个拓扑．
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4．设τ是X上的拓扑，A是X的一个子集，规定
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τ′＝｛A∪U｜U∈τ｝∪｛∅｝．
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证明τ′也是X上的拓扑．
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5．设τ1，τ2都是X上的拓扑，证明τ1∩τ2也是X上的拓扑．
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6．E2的子集求
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7．R上规定第3题中的拓扑，子集A＝｛0｝，求
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8．在度量空间中，记B［x0，ε］＝｛x∈X｜d（x，x0）≤ε｝．证明B［x0，ε］是闭集．举例说明不一定成立．
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9．设A和B都是拓扑空间X的子集，并且A是开集．证明
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10．设A1，A2，…，An都是X的闭集，并且证明B⊂X是X的闭集B∩Ai是Ai（i＝1，2，…，n）的闭集．
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11．设Y是拓扑空间X的子空间，A⊂Y，x∈Y．证明：在X中，x是A的聚点在Y中，x是A的聚点．
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