1701040881
2．设X＝｛x，y，z｝．X的下列子集族是不是拓扑？如果不是，请添加最少的子集，使它成为拓扑．
1701040882
1701040883
（1）｛X，∅，｛x｝，｛y，z｝｝；
1701040884
1701040885
（2）｛X，∅，｛x，y｝，｛x，z｝｝；
1701040886
1701040887
（3）｛X，∅，｛x，y｝，｛x，z｝，｛y，z｝｝．
1701040888
1701040889
3．规定实数集R上的子集族τ＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝（a＝－∞，则（－∞，a）表示∅；a＝＋∞，则（－∞，a）＝R）．证明τ是R上的一个拓扑．
1701040890
1701040891
4．设τ是X上的拓扑，A是X的一个子集，规定
1701040892
1701040893
τ′＝｛A∪U｜U∈τ｝∪｛∅｝．
1701040894
1701040895
证明τ′也是X上的拓扑．
1701040896
1701040897
5．设τ1，τ2都是X上的拓扑，证明τ1∩τ2也是X上的拓扑．
1701040898
1701040899
1701040900
1701040901
6．E2的子集求
1701040902
1701040903
1701040904
7．R上规定第3题中的拓扑，子集A＝｛0｝，求
1701040905
1701040906
1701040907
8．在度量空间中，记B［x0，ε］＝｛x∈X｜d（x，x0）≤ε｝．证明B［x0，ε］是闭集．举例说明不一定成立．
1701040908
1701040909
1701040910
9．设A和B都是拓扑空间X的子集，并且A是开集．证明
1701040911
1701040912
1701040913
1701040914
10．设A1，A2，…，An都是X的闭集，并且证明B⊂X是X的闭集B∩Ai是Ai（i＝1，2，…，n）的闭集．
1701040915
1701040916
1701040917
11．设Y是拓扑空间X的子空间，A⊂Y，x∈Y．证明：在X中，x是A的聚点在Y中，x是A的聚点．
1701040918
1701040919
1701040920
1701040921
12．设X是拓扑空间，B⊂A⊂X．记分别为B在A中的闭包和内部．别为B在X中的闭包和内部．证明
1701040922
1701040923
1701040924
（1）
1701040925
1701040926
1701040927
（2）
1701040928
1701040929
1701040930
（3）如果A是X的开集，则