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(2)Y的任一开集在f下的原像是X的开集;
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(3)Y的任一闭集在f下的原像是X的闭集.
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证明 (1)(2)设V是Y的开集,U=f-1(V).∀x∈U,V是f(x)的邻域,由于f在x连续,x是U的内点.由x的任意性,是开集.
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(2)(3)设f是Y的闭集,则fc是开集,因此f-1(fc)是X的开集.于是f-1(f)=(f-1(fc))c是X的闭集.
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(3)(1)要说明f在任一点x∈X处连续.设V是f(x)的邻域,U=f-1(V).因为是开集(闭集的原像是闭集),且所以U是x的邻域.由定义,f在x连续. ▎
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虽然拓扑空间中也有序列收敛的概念,但不能用它来刻画连续性.事实上,如果f:X→Y在x∈X处连续,则当xn→x时,必有f(xn)→f(x)(习题6).但逆命题不成立.例如设f:X→Y是单映射,其中X是具有余可数拓扑的不可数空间,Y是离散拓扑空间.于是,当X中序列xn→x时,对充分大的n,有xn=x,从而f(xn)→f(x).但f在x并不连续,{f(x)}是f(x)的邻域,但其原像为{x}(因为f是单的),并不是x的邻域.
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2.2 连续映射的性质
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先指出几个简单而常见的连续映射.
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显然,恒同映射id:X→X(即id(x)=x,∀x∈X)是连续映射.
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设A是X的子空间,记i:A→X是包含映射(即i(a)=a,∀a∈A),则i是连续映射,因为当U是X的开集时,i-1(U)=A∩U是A的开集.
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如果f:X→Y是常值映射,即f(X)是Y中一点y0,则f连续,因为f-1(V)=X(若y0∈V),或f-1(V)=∅(若).
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如果X是离散拓扑空间,或Y是平凡拓扑空间,则f:X→Y一定是连续的.
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命题1.9 设X,Y和Z都是拓扑空间,映射f:X→Y在x处连续,g:Y→Z在f(x)处连续,则复合映射gf:X→Z在x处连续.
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证明 (gf)(x)=g(f(x)).对于它的任一邻域W,由于g在f(x)处连续,g-1(W)是f(x)的邻域;又由于f在x处连续,f-1(g-1(W))=(gf)-1(W)是x的邻域.这就证明了结论. ▎
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由此命题推出,两个连续映射的复合也是连续映射.用此结论可给出命题1.8中(1)的另一个证明.f在A上的限制fA=fi,由f和i的连续得到fA连续.
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