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定义1.8 如果f：X→Y是一一对应，并且f及其逆f-1：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射，或称拓扑变换，或简称同胚．当存在X到Y的同胚映射时，就称X与Y同胚，记作
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值得提醒的是同胚映射中条件f-1连续不可忽视，它不能从一一对应和f连续推出．例如设S1是复平面上的单位圆周，规定f：［0，1）→S1为f（t）＝ei2πt．则f是一一对应，并且连续，但f-1不连续．譬如是［0，1）的开集，但是是包含1的上半圆，1不是它的内点，因此不是开集（图1-2）．
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图1-2
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在全体拓扑空间集合内的同胚关系是一个等价关系，其自反性、对称性与传递性分别基于以下明显事实：恒同映射id：X→X是同胚映射；如果f是同胚映射，则f-1也是同胚映射；两个同胚映射的复合也是同胚映射．
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现在举几个同胚映射的例子．
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例1 开区间（作为E1的子空间）同胚于E1．
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如到E1的同胚映射f可规定为：
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f（x）＝tanx，
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例2 En中的单位球体Dn：＝｛x∈En｜‖x‖②≤1｝的内部同胚于En．同胚映射可规定为：它的逆映射为：
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∀y∈En．
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例3 En｛O｝EnDn（O为原点）．
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图1-3
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规定f：En｛O｝→EnDn为其几何意义为每一点背向原点O移动单位长，则f是一一对应，并且连续．f-1是每一点朝O移动单位长，也是连续的（图1-3）．
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例4 球面S2③去掉一点后与E2同胚．球极投射就是把去掉北极点的球面映射到赤道平面的一个同胚映射（见图1-4），它的分析表达式为
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