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（A1×A2）∩（B1×B2）＝（A1∩B1）×（A2∩B2）．
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对于“∪”运算，类似等式不成立．
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3.1 乘积空间
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设（X1，τ1，）和（X2，τ2）是两个拓扑空间．现在要在笛卡儿积X1×X2上规定一个与τ1，τ2密切相关的拓扑τ．具体地说，τ要使j1和j2都连续．并且是满足此要求的最小拓扑．
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在具体给出τ的定义之前，我们先来考察τ应该含有哪些集合？
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∀Ui∈τi，由于ji连续，（Ui）∈τ（定理1.1）．若U1∈τ1，U2∈τ2，则
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构造X1×X2的子集族＝｛U1×U2｜Ui∈τi｝，则所要构造的拓扑τ包含．根据拓扑公理（2），τ也一定包含，因此τ就是包含的最小拓扑．
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命题1.10 是X1×X2上的一个拓扑．
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证明 显然满足拓扑公理（1）．
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由的定义看出，中成员的任意并仍在中，因此拓扑公理（2）也满足．下面验证满足拓扑公理（3）．
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设W，要证明∀（x1，x2）∈W∩W′，则（x1，x2）∈W，从而有Ui∈τi（i＝1，2），使得（x1，x2）∈U1×U2⊂W；同样，有使得于是而
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由的定义，公理（3）满足． ▎
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命题1.10说明就是我们所要构造的拓扑τ．
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