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证明 须要验证ib：X1→ib（X1）＝X1×｛b｝是同胚．它显然是一一对应．是j1在X1×｛b｝上的限制，因此是连续的．ib的两个分量分别是恒同映射id：X1→X1和X1到X2的常值映射（把X1映为｛b｝），都是连续的．由定理1.3推出ib是连续的． ▎
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3.3 拓扑基
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乘积拓扑是用一个特定的子集族生成的．这种规定拓扑的方法在度量空间中已经用过．度量空间的开集是球形邻域的并集，也就是说度量空间的球形邻域族生成了度量拓扑．拓扑基就是从以上方法中抽象出的一个一般性概念．
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定义1.11 称集合X的子集族为集合X的拓扑基，如果是X的一个拓扑；称拓扑空间（X，τ）的子集族为这个拓扑空间的拓扑基，如果
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这里提出了两个有联系的不同概念：集合的拓扑基和拓扑空间的拓扑基．前者只要求是集合X的一个拓扑，而后者要求是X原有的拓扑τ．这两个概念的判断方法也不一样．
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命题1.11 是集合X的拓扑基的充分必要条件是：
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（2）若B1，B2∈，则（也就是∀x∈B1∩B2，存在B∈，使得x∈B⊂B1∩B2）．
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证明 必要性显然．下面证充分性，即当（1）和（2）成立时验证满足拓扑公理．
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的定义蕴涵它满足拓扑公理（2），并且条件（1）说明因此也满足拓扑公理（1）．设U，记其中Bα，∀α，β，则由条件（2），得∀α，β．再由拓扑公理（2），推出于是拓扑公理（3）成立． ▎
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例1 规定R的子集族＝｛［a，b）｜a＜b｝．显然满足命题1．11中条件（1）．任取［a1，b1），［a2，b2），若x∈［a1，b1）∩［a2，b2），记a＝max｛a1，a2｝，b＝min｛b1，b2｝，于是a≤x＜b．则［a，b）∈，并且x∈［a，b）⊂［a1，b1）∩［a2，b2）．因此命题1.11中条件（2）也满足．这样，是R上的一个拓扑基．