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4．设f：X→Y是连续映射，规定f：X→X×Y为f（x）=（x，f（x）），∀x∈X．证明f是嵌入映射．
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5．设X与Y都是可分空间，证明X×Y也是可分的．
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6．设Ai⊂Xi（i＝1，2）．证明A1×A2作为X1×X2子空间的拓扑就是A1与A2的乘积空间的拓扑．
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7．拓扑空间X到E1的映射称为X上的函数．设f和g都是X上的连续函数，证明f±g和f·g（分别用（f±g）（x）＝f（x）±g（x）和f·g（x）＝f（x）g（x）定义）都是X上的连续函数．
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8．证明＝｛（－∞，a）｜a是有理数｝是R上的拓扑基．写出生成的拓扑．
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9．设R的子集族＝｛［a，b）｜a＜b｝．证明在中，［a，b）既是开集，又是闭集．
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10．设i是拓扑空间（Xi，τi）的拓扑基（i＝1，2）．证明＝｛B1×B2｜Bi∈i｝是乘积空间X1×X2的拓扑基．
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11．设是X的一个覆盖，规定X的子集族＝｛B｜B是中有限个成员的交集｝．证明是集合X的一个拓扑基．（称是的子拓扑基．）
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① E1中的开集就是能表示成开区间的并集的那些子集．
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② ‖x‖表示 En中的点x的范数，即x到原点O的距离．
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③ S2是E3中的单位球面，S2：＝｛（x，y，z）∈E3｜x2＋y2＋z2＝1｝．
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基础拓扑学讲义 [:1701040203]
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基础拓扑学讲义 第二章 几个重要的拓扑性质
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本章介绍几个常用的拓扑性质：分离性、可数性、紧致性和连通性．前两种性质也可以看作拓扑公理的补充；后两种性质在分析学中已出现过，它们有很强的几何直观性，是拓扑学中最基本的性质．
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基础拓扑学讲义 [:1701040204]
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§1 分离公理与可数公理
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在第一章中已经看到，欧氏空间和度量空间中有些熟知的性质在一般拓扑空间中可能要失去．这说明拓扑公理只是概括了度量拓扑最基本的性质，而不是全部性质．有时，这种不足会带来不方便．分离性和可数性常作为附加性质，弥补拓扑公理的不足．因此它们本身也被称为公理．有两个可数公理和一系列分离公理．这里介绍这两个可数公理和四个较常用的分离公理：T1，T2，T3和T4公理．
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1.1 T1公理和T2公理