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C2公理 有可数拓扑基．
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这里指拓扑空间X有可数拓扑基．C2公理是一个很强的要求，以至某些度量空间也不是C2空间．例如在R中，规定度量d为
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则（R，d）是离散拓扑空间，任何一点都是开集．于是它的任一拓扑基必须以每个单点集｛x｝为其成员，因此一定是不可数的．
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C2空间一定也是C1空间．事实上，若X有可数拓扑基，则任意点x有可数邻域基｛B∈｜x∈B｝．
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C2空间是可分空间．设X有一可数拓扑基｛Bn｝，在每个Bn（除非它是空集）中取一点xn，则集合｛xn｝是X的可数稠密子集．反过来可分空间不一定是C2空间（习题18给出一个可分C1空间，但它不是C2空间）．
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命题2.7 可分度量空间是C2空间．
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证明 设（X，d）是可分度量空间．A是它的一个可数稠密子集．记n为自然数｝，则是一个可数开集族．下面验证是（X，d）的拓扑基，为此只须说明任一开集和∀x∈U，存在a∈A和自然数n，使得x∈B（a，1/n）⊂U．取ε＞0，使得B（x，ε）⊂U．取n＞2/ε，a∈A，使得d（x，a）＜1/n，则x∈B（a，1/n）．若y∈B（a，1/n），则d（a，y）＜1/n．由三角不等式知d（x，y）＜2/n＜ε，从而y∈B（x，ε）．于是B（a，1/n）⊂B（x，ε）⊂U（见图2-2）． ▎
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图2-2
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欧氏空间En是可分的（A＝｛（x1，x2，…，xn）｜∀i，xi为有理数｝是En的可数稠密子集），因此满足C2公理．
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例 Hilbert空间Eω是一个度量空间．在所有平方收敛的实数序列构成的线性空间中，规定内积
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它决定度量ρ：
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得到的度量空间就是Eω．
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记A＝｛｛xn｝∈Eω｜xn为有理数，且只有有限个不是0｝，则A是Eω的可数稠密集，因此Eω可分，是C2空间．
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下面的定理体现了C2公理的威力．
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定理2.1（Lindelöf定理） 若拓扑空间X满足C2，T3公理，则它也满足T4公理．
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证明 取定X的一个可数拓扑基．设f和f′是不相交的闭集，构造它们的不相交邻域如下：