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证明 设（X，d）是可分度量空间．A是它的一个可数稠密子集．记n为自然数｝，则是一个可数开集族．下面验证是（X，d）的拓扑基，为此只须说明任一开集和∀x∈U，存在a∈A和自然数n，使得x∈B（a，1/n）⊂U．取ε＞0，使得B（x，ε）⊂U．取n＞2/ε，a∈A，使得d（x，a）＜1/n，则x∈B（a，1/n）．若y∈B（a，1/n），则d（a，y）＜1/n．由三角不等式知d（x，y）＜2/n＜ε，从而y∈B（x，ε）．于是B（a，1/n）⊂B（x，ε）⊂U（见图2-2）． ▎
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图2-2
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欧氏空间En是可分的（A＝｛（x1，x2，…，xn）｜∀i，xi为有理数｝是En的可数稠密子集），因此满足C2公理．
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例 Hilbert空间Eω是一个度量空间．在所有平方收敛的实数序列构成的线性空间中，规定内积
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它决定度量ρ：
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得到的度量空间就是Eω．
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记A＝｛｛xn｝∈Eω｜xn为有理数，且只有有限个不是0｝，则A是Eω的可数稠密集，因此Eω可分，是C2空间．
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下面的定理体现了C2公理的威力．
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定理2.1（Lindelöf定理） 若拓扑空间X满足C2，T3公理，则它也满足T4公理．
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证明 取定X的一个可数拓扑基．设f和f′是不相交的闭集，构造它们的不相交邻域如下：
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∀x∈F，则F′由T3公理，有x和F′的不相交邻域W和W′，于是取B∈，使得x∈B⊂W，则记｛B1，B2，…｝是中所有闭包与F′不相交的成员，上面已证明记｛B′1，B′2，…｝是中所有闭包与F不相交的成员，则
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记，则Un和Vn都是开集，并且∀n，m，Un∩Vm＝∅（请读者验证）．令则设x∈F，则存在n，使x∈Bn，从而x∈Un⊂U．因此U是F的开邻域，同理V是F′的开邻域．U和V是F和F′的不相交邻域． ▎
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1.4 拓扑性质的遗传性与可乘性
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一种拓扑性质称为有遗传性的，如果一个拓扑空间具有它时，子空间也必具有它；一种拓扑性质称为有可乘性的，如果两个空间都具有它时，它们的乘积空间也具有它．