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定理2.1（Lindelöf定理） 若拓扑空间X满足C2，T3公理，则它也满足T4公理．
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证明 取定X的一个可数拓扑基．设f和f′是不相交的闭集，构造它们的不相交邻域如下：
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∀x∈F，则F′由T3公理，有x和F′的不相交邻域W和W′，于是取B∈，使得x∈B⊂W，则记｛B1，B2，…｝是中所有闭包与F′不相交的成员，上面已证明记｛B′1，B′2，…｝是中所有闭包与F不相交的成员，则
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记，则Un和Vn都是开集，并且∀n，m，Un∩Vm＝∅（请读者验证）．令则设x∈F，则存在n，使x∈Bn，从而x∈Un⊂U．因此U是F的开邻域，同理V是F′的开邻域．U和V是F和F′的不相交邻域． ▎
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1.4 拓扑性质的遗传性与可乘性
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一种拓扑性质称为有遗传性的，如果一个拓扑空间具有它时，子空间也必具有它；一种拓扑性质称为有可乘性的，如果两个空间都具有它时，它们的乘积空间也具有它．
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例如可分性是可乘的（第一章§3习题5），但没有遗传性（反例见本节习题18）．在分离性中，T1，T2和T3公理都有遗传性和可乘性，证明留作习题．T4公理这两种性质都不具有．两个可数公理也都有遗传性和可乘性．
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习 题
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1．称X满足T0公理，如果对X中任意两点，必有一开集只包含其中一点．试举出满足T0公理，不满足T1公理的拓扑空间的例子．
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2．如果X满足T0公理和T3公理，则它也满足T2公理．
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3．设X满足T1公理，证明X中任一子集的导集是闭集．
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4．设X是Hausdorff空间，f：X→X连续，则f的不动点集fixf：＝｛x∈X｜f（x）＝x｝是X的闭子集．
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5．设Y是Hausdorff空间，f：X→Y连续，则f的图像Gf：＝｛（x，f（x））｜x∈X｝是X×Y的闭子集．
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6．记X×X的对角子集∆：＝｛（x，x）｜x∈X｝．证明当∆是X×X的闭集时，X是Hausdorff空间．
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7．证明Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间．
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8．证明两个Hausdorff空间的乘积空间也是Hausdorff空间．
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9．设X满足T3公理，F为X的闭子集，证明存在F和x的开邻域U和V，使得
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10．设f：X→Y是满的闭连续映射，X满足T4公理，则Y也满足T4公理．
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