1701041918
定理的条件就是要求X满足§1中所定义的所有分离公理和可数公理．作为推论，得到：当X满足T1－T4和C1、C2所有这6个公理时，它一定可度量化．容易看出满足这6个公理并不是可度量化的必要条件（度量空间未必是C2空间）．然而，由于Eω是C2空间，满足6个公理对于嵌入Eω来说则是充分必要的．
1701041919
1701041920
习 题
1701041921
1701041922
1．证明Урьысон引理证明中定义的函数f满足
1701041923
1701041924
1701041925
1701041926
1701041927
2．设X满足T4公理，A是X的闭子集，则连续映射f：A→En可扩张到X上．
1701041928
1701041929
3．拓扑空间Y的子集B称为Y的一个收缩核，如果存在连续映射r：Y→B，使得∀x∈B，r（x）＝x；称r为Y到B的一个收缩映射．设D是En的收缩核．X满足T4公理，A是X的闭集．证明连续映射f：A→D可扩张到X上．
1701041930
1701041931
1701041932
4．设（n维球面），X满足T4公理．证明从X的闭集A到Sn的连续映射可扩张到A的一个开邻域上．
1701041933
1701041934
基础拓扑学讲义 [:1701040206]
1701041935
§3 紧 致 性
1701041936
1701041937
紧致性在分析学中早就出现并有许多应用，然而从本质上讲，它是属于拓扑学范畴的概念，并且是一种最基本、最常见的拓扑性质．
1701041938
1701041939
3.1 紧致与列紧
1701041940
1701041941
在分析学中紧致性（在那里它等价于列紧性）早就显示了它的威力．有界闭区间上的连续函数是有界的，达到它的最大、最小值，并且是一致连续的．在证明这些结论时都用到了同一事实：有界闭区间上的每个序列有收敛的子序列．这种性质后来称为“列紧性”（自列紧），它可以一字不改地推广到一般拓扑空间中．
1701041942
1701041943
定义2.1 拓扑空间称为列紧的，如果它的每个序列有收敛（即有极限点）的子序列．
1701041944
1701041945
模仿分析中的方法，容易证明：
1701041946
1701041947
命题2.9 定义在列紧拓扑空间X上的连续函数f：X→E1有界，并达到最大、最小值．
1701041948
1701041949
1701041950
1701041951
1701041952
1701041953
1701041954
1701041955
1701041956
1701041957
1701041958
刻画闭区间上的同一特性的另一种概念是“紧致性”，虽然它看起来不如列紧性那样自然和直观，但更能体现拓扑特性．在拓扑空间中，序列不是一种好的表达形式，而紧致性所用的开集表达形式，从拓扑观点来看更为自然．第一章§2中已介绍了拓扑空间X的覆盖的概念，它是X的一个子集族，满足如果覆盖中只含有限个子集，就称为有限覆盖．如果的一个子族′⊂本身也构成X的覆盖，就称′是的子覆盖．
1701041959
1701041960
定义2.2 拓扑空间称为紧致的，如果它的每个开覆盖有有限的子覆盖．
1701041961
1701041962
从表面上看，列紧与紧致似乎没有直接的关系，实质上它们是有着紧密联系的．对于度量空间来说，这两种性质是等价的（下面将要证明）．对于一般拓扑空间来说，它们并不是等价的，我们只讨论紧致概念．
1701041963
1701041964
1701041965
1701041966
1701041967