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证明 用反证法．否则，∃δ0＞0，对X的任何有限子集A，总可找到点x∈X，使得d（x，A）≥δ0．用归纳法构造X中序列如下：x1任意取定．当前n个x1，x2，…，xn取好后，取xn＋1使d（xn＋1，xi）≥δ0，∀i＝1，…，n．这样得到的序列｛xn｝满足d（xi，xj）≥δ0，∀i≠j，因此它没有收敛的子序列，与列紧性矛盾． ▎
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作为命题2.11的一个应用，得到：列紧度量空间一定是有界的．
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设是列紧度量空间（X，d）的一个开覆盖，并且规定X上函数φ：X→E1为
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（x）＝sup｛d（x，Uc）｜U∈｝， ∀x∈X．
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因为X是有界的，有M，使得d（x，y）≤M，∀x，y∈X，所以当U≠X时，d（x，Uc）≤M，从而（x）有意义．又由于是开覆盖，存在U∈，使得x∈U，从而（x）≥d（x，Uc）＞0．
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现在验证是连续的．∀x，y∈X，d（y，Uc）＝inf｛d｛y，a）｜a∈Uc｝≤inf｛d（x，y）＋d（x，a）｜a∈Uc｝＝d（x，y）＋d（x，Uc），因此（y）≤d（x，y）＋（x）．对称地，（x）≤d（x，y）＋（y）．这样｜（x）－（y）｜≤d（x，y）．因此容易看出φ连续．
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定义2.3 设是列紧度量空间（X，d）的一个开覆盖，称函数的最小值为的Lebesgue数，记作L（）．
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命题2.12 L（）是正数；并且当0＜δ＜L（）时，∀x∈X，B（x，δ）必包含在的某个开集U中．
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证明 因为X列紧，所以在某点x0处达到最小值，即L（）＝（x0）＞0．
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