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现在验证是连续的．∀x，y∈X，d（y，Uc）＝inf｛d｛y，a）｜a∈Uc｝≤inf｛d（x，y）＋d（x，a）｜a∈Uc｝＝d（x，y）＋d（x，Uc），因此（y）≤d（x，y）＋（x）．对称地，（x）≤d（x，y）＋（y）．这样｜（x）－（y）｜≤d（x，y）．因此容易看出φ连续．
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定义2.3 设是列紧度量空间（X，d）的一个开覆盖，称函数的最小值为的Lebesgue数，记作L（）．
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命题2.12 L（）是正数；并且当0＜δ＜L（）时，∀x∈X，B（x，δ）必包含在的某个开集U中．
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证明 因为X列紧，所以在某点x0处达到最小值，即L（）＝（x0）＞0．
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∀x∈X，δ＜L（）≤（x），因此存在U∈，使得d（x，Uc）＞δ，从而B（x，δ）⊂U． ▎
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现在可以来证明主要结果了．
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命题2.13 列紧度量空间是紧致的．
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证明 设（X，d）是列紧度量空间．要对它的开覆盖找出有限子覆盖．不妨设中不包含X，从而有Lebesgue数L（）．取正数δ＜L（），令A＝｛a1，a2，…，an｝是X的δ-网（存在性由命题2.11保证）．于是由命题2.12，∀i，有Ui∈，使得B（ai，δ）⊂Ui．于是｛U1，U2，…，Un｝是的一个有限子覆盖．命题得证． ▎
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综合命题2.10和2.13，得到
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定理2.5 若X是度量空间，则X列紧X紧致． ▎
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于是有界闭区间是紧致的．球面Sn和实心球Dn是紧致的．一般地，En的子集A紧致的充分必要条件是A为有界闭集．
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