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综合命题2.10和2.13，得到
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定理2.5 若X是度量空间，则X列紧X紧致． ▎
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于是有界闭区间是紧致的．球面Sn和实心球Dn是紧致的．一般地，En的子集A紧致的充分必要条件是A为有界闭集．
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3.3 紧致空间的性质
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下面的讨论中常要涉及到拓扑空间的紧致子集．一个拓扑空间X的子集A如果作为子空间是紧致的，就称为X的紧致子集．这里在概念上并没有提出任何新思想．下面介绍判断一个子集是否紧致的办法，实用中它常常比定义方便些．
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X中一个开集族如果满足则称是A在X中的一个开覆盖（区别于A的开覆盖，后者由A中的开集构成）．
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命题2.14 A是X的紧致子集A在X中的任一开覆盖有有限子覆盖．
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证明 ．设是A在X中的开覆盖，则A＝｛U∩A｜U∈｝是A的开覆盖．因为A紧致，所以A有有限子覆盖｛U1∩A，U2∩A，…，Un∩A｝．则｛U1，U2，…，Un｝是的有限子覆盖．
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．设是A的开覆盖．则由子空间拓扑的定义，∀V∈，取定X中开集U，使得V＝U∩A．所有得到的U构成A在中的开覆盖．由条件，有子覆盖｛U1，U2，…，Un｝．于是｛U1∩A，U2∩A，…，Un∩A｝是的有限子覆盖．这证明了A的紧致性． ▎
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命题2.15 紧致空间的闭子集紧致．
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证明 设X是紧致拓扑空间，A是X的闭子集．证A的紧致性只须证明A在X中的任一开覆盖有有限子覆盖．因为A是闭集，所以Ac是开集．于是中添加了Ac后得到X的一个开覆盖．由于X紧致，它有子覆盖｛U1，…，Un，Ac｝．于是（U1，…，Un｝是的有限子覆盖（A的覆盖）．
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命题2.16 紧致空间在连续映射下的像也紧致．
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