1701042099
1701042100
1701042101
证明 设X是紧致拓扑空间，A是X的闭子集．证A的紧致性只须证明A在X中的任一开覆盖有有限子覆盖．因为A是闭集，所以Ac是开集．于是中添加了Ac后得到X的一个开覆盖．由于X紧致，它有子覆盖｛U1，…，Un，Ac｝．于是（U1，…，Un｝是的有限子覆盖（A的覆盖）．
1701042102
1701042103
命题2.16 紧致空间在连续映射下的像也紧致．
1701042104
1701042105
1701042106
1701042107
1701042108
1701042109
1701042110
证明 设X紧致，映射f：X→Y连续．要证明f（X）是Y的紧致子集．设是f（X）在Y中的开覆盖，则｛f-1（U）｜U∈｝是X的开覆盖，有子覆盖｛f-1（U1），f-1（U2），…，f-1（Un）｝，即X于是因此｛U1，U2，…，Un｝是的子覆盖，根据命题2.14，f（X）紧致． ▎
1701042111
1701042112
命题2.16的一个直接推论是：紧致性是拓扑性质．当然，从定义就可得到这个论断．
1701042113
1701042114
推论 定义在紧致空间上的连续函数有界，并且达到最大、最小值．
1701042115
1701042116
证明 设X紧致，f：X→E1连续．根据命题2.16，f（X）是E1上的紧致子集，因此是E1的有界闭集，故f是有界的．设a，b分别是f（X）的最大、最小值．则有x1，x2∈X，使得f（x1）＝a，f（x2）＝b，即f在x1，x2处达到最大、最小值． ▎
1701042117
1701042118
3.4 Hausdorff空间的紧致子集
1701042119
1701042120
下面讨论紧致和T2公理共同作用下能得到的结果．
1701042121
1701042122
1701042123
命题2.17 若A是Hausdorff空间X的紧致子集，则x与A有不相交的邻域．
1701042124
1701042125
1701042126
1701042127
1701042128
1701042129
1701042130
证明 ∀y∈A，则x≠y．X是Hausdorff空间，因而x和y有不相交的开邻域Uy和Vy（它们都随y而改变）．｛Vy｜y∈A｝构成A在X中的开覆盖，有子覆盖记（图2-4），则它们都是开集（U是开集仰仗于“有限”），并且分别是A和x的邻域．因为所以U∩V＝∅．U，V即为所求． ▎
1701042131
1701042132
1701042133
1701042134
1701042135
图2-4
1701042136
1701042137
推论 Hausdorff空间的紧致子集是闭集． ▎
1701042138
1701042139
下面是一个常用的定理．
1701042140
1701042141
定理2.6 设f：X→Y是连续的一一对应，其中X紧致，Y是Hausdorff空间，则f是同胚．
1701042142
1701042143
证明 要证明f-1：Y→X连续，只须证f是闭映射（见第一章§2的习题11）．设A是X的闭集，由命题2.15，A是紧致的；由命题2.16，f（A）是Y的紧致子集；再由命题2.17的推论知f（A）是Y的闭集． ▎
1701042144
1701042145
命题2.18 Hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻域．
1701042146
1701042147
证明 用命题2.17的方法和结果．请读者自己补充证明细节． ▎
1701042148