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证明 （1）设x∈X，U是x的开邻域．要证明存在x的开邻域V，使得
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取x的紧致邻域F，因为F是紧致Hausdorff空间，所以满足T3公理．在F中，F∩U是x的开邻域，因此有F中开集W，x∈W，并且又因为F是X的闭集（见命题2.17的推论），所以（见第一章§1习题12中（1））．记W，它是X的开集，且x∈V，V即为所求．
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（2）设x∈X，U是x的开邻域．要证明存在x的紧致邻域C⊂U．
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作x的紧致邻域F，则F∩U是x的邻域．因为X满足T3公理，所以有x的邻域V，满足令它是紧致空间F的闭集，因此紧致．C即为所求．
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（3）从（2）直接推出． ▎
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拓扑空间X的覆盖称为局部有限的，如果X的每一点有邻域V，它只同中有限个成员相交．
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设和′都是X的覆盖，如果′的每个成员都包含在的某个成员中，则称′是的加细，如果′还是开覆盖，则称′为的开加细．
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定义2.5 拓扑空间X称为仿紧的，如果X的每个开覆盖都有局部有限的开加细③．
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我们只给出一些论断，不予证明．
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紧致空间是仿紧的．
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仿紧的Hausdoff空间满足T4公理．
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局部紧致，并满足C2公理的Hausdorff空间是仿紧的．从而En是仿紧的．
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度量空间是仿紧空间．
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习 题
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1．证明（R，τf）的任何子集都紧致；证明（R，τc）不紧致．
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2．按以下步骤证明列紧度量空间紧致．
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（1）若X列紧，则每个可数开覆盖有有限子覆盖；