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14．设X满足T3公理，则X中紧致子集的闭包也紧致．
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15．证明度量空间X紧致的充分必要条件是X上任一连续函数都是有界的．
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16．设f：X→Y是闭映射，并且∀y∈Y，f-1（y）是X的紧致子集．则对于Y的任一紧致子集B，f-1（B）也紧致．
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17．证明局部紧致空间的闭子集也是局部紧致的．
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18．设（X，τ）是非紧致Hausdorff空间．在X中添加一个新元素Ω，所得集合记作X*．规定X*的子集族
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τ*＝τ∪｛X*｝∪｛X*K｜K是X的紧致子集｝．
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（1）验证τ*是X*上的拓扑，且τ*在X上导出的子空间拓扑即τ；
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（2）X是（X*，τ*）的稠密子集；
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（3）（X*，τ*）是紧致的；（称它是（X，τ）的一点紧致化）；
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（4）如果（X，τ）是局部紧致的Hausdorff空间，则（X*，τ*）是Hausdorff空间．
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19．证明En的一点紧致化同胚于Sn．
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基础拓扑学讲义 [:1701040207]
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§4 连 通 性
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普通的几何中图形的“连通”性是一个非常直观的概念，它几乎无须给出数学定义．譬如，谁都知道，在圆锥曲线中，椭圆和抛物线是连通的，而双曲线是不连通的．然而，对于复杂一些的图形，单凭直观就不行了．我们来看一个例子．
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例1 设E2的一个子集X是由A和B两部分构成的（图2-6），其中
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B＝｛（0，y）｜－1≤y≤1｝．
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单凭直观概念，很难判断X是不是连通的．
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对图形连通性的认识必须深化．现在，我们要把连通性作为拓扑概念给出严格的定义．直观上的连通，可以有两种含义：其一是图形不能分割成互不“粘连”的两部分；其二是图形上任何两点可以用图形上的线连结．在拓扑学中，这两种含义分别抽象成“连通性”和“道路连通性”两个概念．它们分别在本节和下一节中讨论．这是两个不同的概念．例如对于上面给出的空间X，将看到它连通，但并不道路连通．
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图2-6
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4.1 连通性的定义
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从拓扑上解释“空间X分割成互不粘连的两部分A和B”，就是说X＝A∪B，A和B是不相交的非空子集，并且A和B都不包含对方的聚点，也就是说A和B是不相交的闭集（从而也是开集）．于是得到连通的定义：
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定义2.6 拓扑空间X称为连通的，如果它不能分解为两个非空不相交开集的并．
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