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例3 设A⊂E1，则A连通A是区间．
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证明 ．若A不是区间，则可取到实数a，b，c使得a＜c＜b，并且a，b∈A，而记A1＝A∩（－∞，c），A2＝A∩（c，＋∞），则A＝A1∪A2，A1∩A2＝∅，A1与A2都是A的非空开集，因此A不连通．
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．若A是区间，则A是下列几种形式之一：
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（a，b），［a，b］，［a，b），（a，b］，
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其中a，b分别可取－∞和＋∞，a＜b，对于［a，b］可允许a＝b，此时它为一点．因此连通．由f（x）＝｜x｜给出连续满映射f：E1→［0，＋∞），因此［0，＋∞）连通，从而也连通．规定g：E1→［a，b］为
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则g是连续满映射，因此［a，b］连通． ▎
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推论 连通空间上的连续函数取到一切中间值（即像集是区间）．
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证明 设X连通，f：X→E1连续，则f（X）是E1的连通子集．由例3，它是区间． ▎
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引理 若X0是X的既开又闭的子集，A是X的连通子集，则或者A∩X0＝∅，或者A⊂X0．
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证明 A∩X0是A的既开又闭子集．由于A连通，则或者A∩X0＝∅，或者A∩X0＝A，即A⊂X0． ▎
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命题2.22 若X有一个连通的稠密子集，则X连通．
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证明 设A是X的连通稠密子集，X0是X的既开又闭子集．如果X0≠∅，则X0∩A≠∅（第一章§1习题15），由引理，A⊂X0．于是从而X0＝X．这样，X的既开又闭子集只有∅和X，因此连通． ▎
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推论 若A是X的连通子集，则Y连通．
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证明 这是因为在Y中看，A是稠密子集． ▎
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下面用引理推出判断连通的一个常用法则．
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命题2.23 如果X有一个连通覆盖（中每个成员都连通），并且X有一连通子集A，它与中每个成员都相交，则X连通．
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证明 设X0是X的既开又闭子集．要证明X0＝∅或X．
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