打字猴:1.701042373e+09
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1701042375 例3 设A⊂E1,则A连通A是区间.
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1701042379 证明 .若A不是区间,则可取到实数a,b,c使得a<c<b,并且a,b∈A,而记A1=A∩(-∞,c),A2=A∩(c,+∞),则A=A1∪A2,A1∩A2=∅,A1与A2都是A的非空开集,因此A不连通.
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1701042382 .若A是区间,则A是下列几种形式之一:
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1701042384 (a,b),[a,b],[a,b),(a,b],
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1701042389 其中a,b分别可取-∞和+∞,a<b,对于[a,b]可允许a=b,此时它为一点.因此连通.由f(x)=|x|给出连续满映射f:E1→[0,+∞),因此[0,+∞)连通,从而也连通.规定g:E1→[a,b]为
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1701042394 则g是连续满映射,因此[a,b]连通. ▎
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1701042396 推论 连通空间上的连续函数取到一切中间值(即像集是区间).
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1701042398 证明 设X连通,f:X→E1连续,则f(X)是E1的连通子集.由例3,它是区间. ▎
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1701042400 引理 若X0是X的既开又闭的子集,A是X的连通子集,则或者A∩X0=∅,或者A⊂X0.
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1701042402 证明 A∩X0是A的既开又闭子集.由于A连通,则或者A∩X0=∅,或者A∩X0=A,即A⊂X0. ▎
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1701042404 命题2.22 若X有一个连通的稠密子集,则X连通.
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1701042407 证明 设A是X的连通稠密子集,X0是X的既开又闭子集.如果X0≠∅,则X0∩A≠∅(第一章§1习题15),由引理,A⊂X0.于是从而X0=X.这样,X的既开又闭子集只有∅和X,因此连通. ▎
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1701042410 推论 若A是X的连通子集,则Y连通.
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1701042412 证明 这是因为在Y中看,A是稠密子集. ▎
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1701042414 下面用引理推出判断连通的一个常用法则.
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1701042419 命题2.23 如果X有一个连通覆盖(中每个成员都连通),并且X有一连通子集A,它与中每个成员都相交,则X连通.
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1701042421 证明 设X0是X的既开又闭子集.要证明X0=∅或X.
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