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4.4 局部连通性
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定义2.8 拓扑空间X称为局部连通的，如果∀x∈X，x的所有连通邻域构成x的邻域基．
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按定义，当X局部连通时，如果U是点x的邻域，则必有x的连通邻域V⊂U．
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和局部紧致的概念不同，连通空间不一定是局部连通的．
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例7 例1中的X是连通的，但X不是局部连通的．取原点O＝（0，0）．记U＝｛（x，y）∈X｜y≠－1｝，则U中不包含O的任何连通邻域．（由本节习题10，U的含O的连通分支是B｛（0，－1）｝，它不是O的邻域．因此U中含O的连通子集都不是O的邻域．）
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命题2.26 局部连通空间的连通分支是开集．
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证明 设X局部连通，A是X的一个连通分支．∀x∈A，因为x有一个连通邻域，它也必包含在A中，所以x是A的内点．因此A是开集． ▎
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习 题
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1．证明平凡拓扑空间连通；包含两个以上点的离散拓扑空间不连通．
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2．在实数集R上规定拓扑
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τ1＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝，
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证明（R，τ1）连通，（R，τ2）不连通．
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3．证明Dn连通．
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4．设X1，X2都是连通空间X的开子集，X1∪X2＝X，X1∩X2非空，并且连通．证明X1，X2都连通．
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5．设X是满足T1，T4公理的连通空间，并且X中至少有两个点．证明X是不可数的．
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6．证明局部连通空间的开子集也局部连通．
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7．证明：X不连通存在定义在X上的连续函数f：X→E1，使得f（X）是两个点．
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8．X是E2的子集，X＝｛（x，y）｜x，y不全为无理数｝，证明X连通．
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9．设X是紧致Hausdorff空间，是X的一族连通闭子集，满足：中任何有限个成员之交是非空连通集．证明是非空的连通集．
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10．证明例7中所定义的U的包含（0，0）点的连通分支是B｛（0，－1）｝．
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基础拓扑学讲义 [:1701040208]
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§5 道路连通性
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