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和平环一样，环面和其他曲面都是一个拓扑等价类中空间的统称．
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1.3 射影平面
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射影平面记作P2，它是射影几何学中的概念．拓扑学中，有几种描述它的方法，其中之一是把圆盘D2（它同胚于矩形面块）的边界S1上每一对对径点（同一直径的两个端点）粘合，得到射影平面（图3-6）．这种粘接直观上就不好理解了，在3维欧氏空间中是做不到的，在4维空间中能实现，但也不好想象．我们将在后面说清楚它．
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图3-6
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用“粘合”方法制造新拓扑空间是拓扑学中常用的一种方法．还有许多更复杂的“粘合”，凭直观是不好接受的．例如，把圆盘D2与I的乘积空间D2×I的一端（子集D2×｛1｝）捏为一点，得到的空间的直观形象是一个圆锥体（图3-7）．如果用一般拓扑空间X代替D2，得到的空间是什么？又如把环面上的一个经圆和一个纬圆捏在一起成一个点，又会得到什么空间？这些问题都不能靠直观来回答．
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图3-7
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从拓扑学的观点来说，需要有一种描述粘合所得到的新空间（不论它在直观上能否接受）的拓扑的方法．这就是下一节要解决的问题．
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习 题
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1．如果把矩形带先扭转360°，然后把两侧边粘接，得什么空间（图3-8）
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图3-8
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2．证明：沿Möbius带的中腰线割开，所得空间是平环．
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3．如果先将圆柱面拧180°，再弯曲粘接两截口，得什么空间？（图3-9）
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图3-9
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基础拓扑学讲义 [:1701040212]
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§2 商空间与商映射
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2.1 商空间
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设拓扑空间X上作某种粘合得到新空间．如果把要粘在一起的点称为互相等价的点，X上就有了一个等价关系，每个等价类被粘合为新空间上的一个点．因此新空间的集合就是等价类的集合．一般地，一个集合X上如果有等价关系～，相应的等价类的集合记作X/～，称为X关于～的商集．把X上的点对应到它所在等价类，得到映射p：X→X/～，称为粘合映射．设X已有了拓扑，现在我们来规定X/～上的一个拓扑．
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定义3.1 设（X，τ）是拓扑空间，～是集合X上的一个等价关系．规定商集X/～上的子集族
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