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证明 ．由于p连续，当g连续时，复合映射gp也连续（见右图所示的交换图表）．
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．须要对Y的任一开集V，验证g-1（V）是X/～的开集．这是因为p-1（g-1（V））＝（gp）-1（V）是X的开集（根据gp连续），按商拓扑的定义，g-1（V）确是开集． ▎
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现在用商空间的观点来看§1中的“粘合”方法．以环面T2为例．记X是用来粘制T2的圆柱面．粘合过程规定了从X到T2的连续映射f．记～是粘合决定的等价关系，g：X/～→T2是相应的一一对应关系，于是f＝gp．因为f连续，所以g连续（定理3.1）．由于X紧致和p连续，X/～是紧致的，而T2是Hausdorff空间．根据定理2.6，连续的一一对应g是同胚．这就是说，在拓扑意义上看，T2就是商空间X/～．这样，我们就可以完全摆脱直观，直接用商空间概念来理解§1中所说的粘合方法了．像射影平面那样不好理解的粘合制作法也就有了明确的意义．反过来粘合法就是商空间这个抽象概念的直观背景．
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下面用商空间概念规定一种常用的空间．
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设A是拓扑空间X的一个子集（通常是闭子集），把A捏为一点（也就是将A看作一个等价类，别的点各自成一等价类），得到的商空间记作X/A．
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对任一拓扑空间X，记CX：＝X×I/X×｛1｝，称为X上的拓扑锥．
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如果X⊂En，取a∈En＋1En，规定En＋1的子集
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aX：＝｛ta＋（1－t）x｜t∈I，x∈X｝，
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称为X上以a为顶点的几何锥．
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如果X是En的紧致子集，则（习题10）．
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2.2 商映射
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商映射和商空间是密切相关的概念．可以说它们是从不同的角度看同一事物．商映射是从映射的角度观察，更有利于加深认识．
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定义3.2 设X和Y是拓扑空间，映射f：X→Y称为商映射，如果
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（1）f连续；
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（2）f是满的；
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（3）设B⊂Y，如果f-1（B）是X的开集，则B是Y的开集．
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注意到f-1（Bc）＝（f-1（B））c，于是，f-1（B）是X的开集f-1（Bc）是X的闭集．由此容易推出（3）等价于：设F⊂Y，如果f-1（F）是X的闭集，则F是Y的闭集．
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（1）与（3）合在一起也就是：B是Y的开集f-1（B）是X的开集．当X/～是X的一个商空间时，粘合映射p：X→X/～满足此条件，并且是满映射，因此是商映射．
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分析定理3.1的证明，用到的正好就是p是商映射这个性质．因此定理3.1可以改写为
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