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1701042924 定理3.2 如果X紧致,Y是Hausdorff空间,则连续满映射f:X→Y一定是商映射.
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1701042926 证明 设A是X的闭集,则A紧致,从而f(A)紧致.由于Y是Hausdorff空间,f(A)是Y的闭集.于是f是闭映射.再用命题3.2,f是商映射. ▎
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1701042928 从定义容易看出,单一的商映射就是同胚.于是定理3.2就是定理2.6的推广.它们的证明方法是类似的.
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1701042930 命题3.3 商映射的复合也是商映射.
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1701042936 证明 设f:X→Y和g:Y→Z都是商映射.gf显然是满的连续映射.设C⊂Z,使得(gf)-1(C)是开集.由f是商映射和f-1(g-1(C))=(gf)-1(C),得出g-1(C)是开集,再从g是商映射推出C是开集.因此gf满足条件(3). ▎
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1701042938 2.3 应用举例
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1701042940 例1 如图3.10(a)所示粘接矩形的两双对边,得到环面T2.分两步实现粘合.先粘接上下边对a,成一圆柱面,边对b成为它的两个截口.再粘接这两个截口得到T2.两次粘合映射的复合是从矩形到T2的商映射,它恰好实现所要求的粘合.
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1701042942 类似地,图3.10(b)所示的粘合把矩形变为Klein瓶.
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1701042947 图3-10
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1701042950 例2 记S1为D2的边界圆周,则也就是说把D2的边界捏为一点得到球面S2.
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1701042952 作f:D2→S2为
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1701042958 则f满、连续,并且D2紧致,S2是Hausdorff空间,从而f是商映射.不难看出,就是实现捏合S1为一点的等价关系.于是,
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1701042963 图3-11
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1701042965 例3 把平环X的一条边界上的对径点都粘合,得到Möbius带.
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1701042967 如图3-11所示,记所得空间为Y,相应的粘合映射为p.X是两个矩形Ⅰ和Ⅱ沿a和b粘接所得商空间.于是Y是Ⅰ和Ⅱ粘接a,b和c三对边所得商空间.如果先沿c把Ⅰ和Ⅱ粘接为一个矩形,再粘接ab(它们已连接起来)边对,得到的是Möbius带,它也是Ⅰ和Ⅱ粘接边对a,b,c所得的商空间.因此Y是Möbius带.
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1701042969 例4 将三角形两边“同向”地粘接(图3-12)得什么空间?
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