1701042923
1701042924
定理3.2 如果X紧致，Y是Hausdorff空间，则连续满映射f：X→Y一定是商映射．
1701042925
1701042926
证明 设A是X的闭集，则A紧致，从而f（A）紧致．由于Y是Hausdorff空间，f（A）是Y的闭集．于是f是闭映射．再用命题3.2，f是商映射． ▎
1701042927
1701042928
从定义容易看出，单一的商映射就是同胚．于是定理3.2就是定理2.6的推广．它们的证明方法是类似的．
1701042929
1701042930
命题3.3 商映射的复合也是商映射．
1701042931
1701042932
1701042933
1701042934
1701042935
1701042936
证明 设f：X→Y和g：Y→Z都是商映射．gf显然是满的连续映射．设C⊂Z，使得（gf）-1（C）是开集．由f是商映射和f-1（g-1（C））＝（gf）-1（C），得出g-1（C）是开集，再从g是商映射推出C是开集．因此gf满足条件（3）． ▎
1701042937
1701042938
2.3 应用举例
1701042939
1701042940
例1 如图3.10（a）所示粘接矩形的两双对边，得到环面T2．分两步实现粘合．先粘接上下边对a，成一圆柱面，边对b成为它的两个截口．再粘接这两个截口得到T2．两次粘合映射的复合是从矩形到T2的商映射，它恰好实现所要求的粘合．
1701042941
1701042942
类似地，图3.10（b）所示的粘合把矩形变为Klein瓶．
1701042943
1701042944
1701042945
1701042946
1701042947
图3-10
1701042948
1701042949
1701042950
例2 记S1为D2的边界圆周，则也就是说把D2的边界捏为一点得到球面S2．
1701042951
1701042952
作f：D2→S2为
1701042953
1701042954
1701042955
1701042956
1701042957
1701042958
则f满、连续，并且D2紧致，S2是Hausdorff空间，从而f是商映射．不难看出，就是实现捏合S1为一点的等价关系．于是，
1701042959
1701042960
1701042961
1701042962
1701042963
图3-11
1701042964
1701042965
例3 把平环X的一条边界上的对径点都粘合，得到Möbius带．
1701042966
1701042967
如图3-11所示，记所得空间为Y，相应的粘合映射为p．X是两个矩形Ⅰ和Ⅱ沿a和b粘接所得商空间．于是Y是Ⅰ和Ⅱ粘接a，b和c三对边所得商空间．如果先沿c把Ⅰ和Ⅱ粘接为一个矩形，再粘接ab（它们已连接起来）边对，得到的是Möbius带，它也是Ⅰ和Ⅱ粘接边对a，b，c所得的商空间．因此Y是Möbius带．
1701042968
1701042969
例4 将三角形两边“同向”地粘接（图3-12）得什么空间？
1701042970
1701042971
1701042972