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证明 记F＝f×id．它显然是连续满映射．只须验证商映射的条件（3），即当W⊂Y×Z使得F-1（W）是开集时，验证W是开集．任取（y0，z0）∈W，要证明它是W的内点．
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取x0∈F-1（y0），则（x0，z0）∈F-1（W）．因为F-1（W）是开集，所以有z0的邻域B，使得｛x0｝×B⊂F-1（W），即｛y0｝×B⊂W．由于Z是局部紧致Hausdorff空间，可不妨设B是紧致的（命题2.20中（2））．
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规定Y的子集V：＝｛y∈Y｜｛y｝×B⊂W｝，则y0∈V，并且V×B⊂W．如果f（x）＝y，则F（｛x｝×B）＝｛y｝×B，从而y∈V｛x｝×B⊂F-1（W）．规定U＝f-1（V），则U＝｛x∈X｜｛x｝×B⊂F-1（W）｝．
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由于B紧致，F-1（W）是开集，根据第二章§3中3.5的引理，∀x∈U，则｛x｝×B⊂F-1（W），有x的邻域Ux，使得Ux×B⊂F-1（W），即Ux⊂U．这样U是开集．由于f是商映射，V也是开集．于是（y0，z0）是V×B的内点，从而也是W的内点． ▎
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E1和I都是局部紧致的Hausdorff空间．以后我们常在Z＝E1或I的情况下应用此定理．
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习 题
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1．设f：X→Y和g∶Y→Z都是连续映射，使得gf是商映射，证明g也是商映射．
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2．设f：X→Y是商映射，B是Y的开集（或闭集），A＝f-1（B），则fA：A→B也是商映射．
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3．设X是Hausdorff空间，证明CX也是Hausdorff空间．
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4．设A是Hausdorff空间X的紧致子集，证明X/A也是Hausdorff空间．
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5．规定f：（－1，2）→［0，1］为
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证明：
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（1）f是商映射；
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（2）f不是开映射，也不是闭映射．
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6．证明
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7．证明
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8．设A是环面T2上一经圆与一纬圆的并集．证明
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9．设M是Möbius带，∂M是它的边界．证明
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10．设X是En中的紧致子集，a∈En＋1En．证明
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