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8．设A是环面T2上一经圆与一纬圆的并集．证明
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9．设M是Möbius带，∂M是它的边界．证明
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10．设X是En中的紧致子集，a∈En＋1En．证明
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11．记p：E1→E1/（0，1］是粘合映射．
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（1）证明p既不是开映射，又不是闭映射．
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（2）记A＝E1（0，1］．证明pA：A→p（A）不是商映射．
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12．设f：S2→E4规定为
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f（x，y，z）＝（x2－y2，xy，xz，yz）．
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证明
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13．证明由
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f（x，y）＝（cos2xπ，cos2yπ，sin2yπ，sin2xπcosπy，sin2xπsinπy）
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规定的映射f：I×I→E5的像瓶．
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设X，Y是两个集合，记X⊔Y为它们的无交并，即由X中元素和Y中元素构成的新集合．注意：即便X与Y是有公共点的，即有x∈X，y∈Y，使得x＝y，在X⊔Y中也要把x与y看作不同的元素．因此作为X⊔Y的子集，X与Y之交X∩Y＝∅．
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设（X1，τ1）与（X2，τ2）是两个拓扑空间，在X1⊔X2中规定拓扑τ＝｛U⊂X1⊔X2｜U∩Xi∈τi，i＝1，2｝．称｛X1⊔X2，τ）为（X1，τ1）与（X2，τ2）的拓扑和．两个拓扑空间X与Y的拓扑和记作X＋Y．
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设X与Y是两个拓扑空间，A⊂X，f：A→Y连续．在X＋Y中规定等价关系～，使得等价类为下面两种形式：
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（1）XA中的单个点；
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（2）｛y｝∪f-1（y），∀y∈Y．
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称商空间（X＋Y）/～为映射f的贴空间，记作Y∪fX．
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14．设i：S1→D2是包含映射，证明
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15．记规定为f（x）＝（x，0），∀x∈E1．证明：
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