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这里是半个n维欧氏空间，规定为
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∶＝｛（x1，x2，…，xn）∈En｜xn≥0｝．
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按照这个定义，En本身就是一个n维流形，Sn，Dn和Tn等也都是n维流形．而二次锥面并不是流形，除非把锥顶去掉，因为锥顶的任一邻域不同胚于E2或（请读者证明）．
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设M是n维流形．点x∈M如果有同胚于En的开邻域，就称x是M的内点（注意此概念区别于第一章给出的子集内点的概念），否则称为边界点．全体内点的集合称为M的内部，它是M的一个开集．
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要让以上概念明确，我们还必须承认一些事实．譬如，n≠m时（否则流形的维数就失去意义了）；还有，（否则就没有内点与边界点的区分了）．这些事实现在还不能证明，以后将用基本群或同调群工具予以证明．
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从定义不难看出，流形满足C1公理（习题1），它还是局部道路连通和局部紧致的（习题6）．
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如果n维流形有边界点，则记∂M是它的边界点的集合．可以证明∂M是一个没有边界点的（n－1）维流形．
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3.2 闭曲面
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二维流形称为曲面．如E2，S2，T2，平环和Möbius带都是曲面．前三个没有边界点．
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定义3.4 没有边界点的紧致连通曲面称为闭曲面．
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S2和T2都是闭曲面．E2不是闭曲面．D2，平环和Möbius带不是闭曲面，因为它们有边界点（下章证明，现在只能从直观上接受）．
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射影平面P2是闭曲面，它的紧致性与连通性明显．只须验证每一点有开邻域同胚于E2．将它看作D2粘合S1上对径点的商空间．记p∶D2→P2是粘合映射．如果点y∈P2在p下的原像是D2的一个内点x，则是y的开邻域．如果p-1（y）是S1上一对对径点x与x′，取U＝B（x，ε）∪B（x′，ε），ε＜1（图3-16），则（读者自己证明），是y的开邻域．
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图3-16
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图3-17
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Klein瓶也是闭曲面．如果把它看作矩形的商空间，可用与P2相同的办法证明它的每一点有开邻域同胚于E2，不过多了一种情况：p-1（y）是矩形的四个顶点x1，x2，x2，x4（图3-17）．令（ε足够小），则p（U）就是y的开邻域，它同胚于E2．
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一般地，假设Г是一个偶数边的多边形，如果成对地粘接Г的边，那么所得的商空间是闭曲面．
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3.3 两类闭曲面
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球面是最简单的闭曲面．对球面施用手术，可得到许多新的闭曲面．
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1．安环柄的球面