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在球面上挖一洞，在洞口粘接上一个环柄（图3-19）．把这样的“手术”称为在球面上安一个环柄．不难看出，得到的闭曲面是T2．如果在球面上安n个环柄，把得到的闭曲面记作nT2，称作亏格为n的可定向闭曲面．不难想象，安环柄时洞口的位置和大小（只要不相重叠）对所得闭曲面的拓扑类并不会影响，因此nT2表示一个拓扑等价类．nT2的另一种常用的形式就是n-环面（不同于n维环面）．图3-20左边画的是一个三环面．它同胚于安三个环柄的球面．
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2．安交叉帽的球面
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在球面上挖一洞，并在洞口粘接一条Möbius带，把这种手术称为在球面上安交叉帽．安了m个交叉帽的球面称为亏格为m的不可定向闭曲面，记作mP2．
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图3-21
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图3-22
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安交叉帽的一种等效手术是将球面上洞口的对径点粘合（图3-21）．因此1P2就是P2．2P2可看作两条Möbius带沿边界粘接（图3-22）．矩形的两对邻边“顺向”地粘接得到的就是2P2，如图3-23中所示，沿c将矩形分割为两个三角形，对它们分别粘接a边对和b边对，得到两个以c为边界的Möbius带．图3-24又表明，矩形的这种粘合的结果是Klein瓶，因此2P2是Klein瓶．
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图3-23
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图3-24
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习 题
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1．证明流形满足C1公理．
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2．证明紧致流形满足C2公理．
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3．证明紧致流形是可度量化的．
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4．在E1中规定等价关系～，使得等价类为两种情形：
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（1）｛x｝，x∈［－1，1］；
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（2）｛x，－x｝，x＞1．
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证明E1/～的每一点都有同胚于E1的开邻域，但它不是Hausdorff空间．
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5．证明流形满足T3公理．
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6．证明流形局部道路连通和局部紧致．
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7．证明流形的内部是它的开子集．
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