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显然，有相同形式的多边形表示的闭曲面是相互同胚的．这给出了判定闭曲面同胚的一个途径．但是，每个闭曲面有许多不相同的多边形表示，这给上述判定方法的使用造成了困难．为此，我们提出“标准多边形表示”这个概念，在这种表示中，要求粘合法则有一定的规律．标准多边形表示有两类，它们用文字形式写出为
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a1a1a2a2…amam． （Ⅱm）
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我们下面将证明，除球面外，任一闭曲面都有标准表示；并说明有（Ⅰn）这种表示的是nT2型曲面，有（Ⅱm）这种表示的是mP2型曲面．
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2．多边形表示的标准化
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设S是一闭曲面，它有多边形表示（Γ，φ）．我们要改造这个表示使之标准化．不妨设S不是球面、环面、射影平面和Klein瓶（已知道后三种闭曲面有标准表示），因此Γ的边数不会小于6（因为当边数为4时，只可能是上述几种曲面）．
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下面给出从（Γ，φ）出发，构造S的标准表示的程序．每一步都是用§2中已经使用多次的“剪接”技术．
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先约定几个术语．
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在（Γ，φ）中，Γ的在φ下要粘接的边对称为同向对，如果两边标有相同的方向，否则称反向对．例如在（Ⅰn）中，只出现反向对，（Ⅱm）中只有同向对．
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Γ的所有顶点在粘合关系φ下分成若干等价类，称它们为顶点类．例如图3.25中的（a）、（b）和（d）都只有一个顶点类；（c）和（e）有两个顶点类；（f）有三个顶点类．
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将使用两类剪接手术：
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手术A 粘接相邻反向对．
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图3-26
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例如对图3-26中的多边形Γ粘接反向对a（其他边对暂不粘接），得新多边形Γ′，φ导出Γ′的粘合关系φ′．得到S的另一个表示（Γ′，φ′），它的边数比Γ少2，顶点类个数减少1（Γ的顶点A单独成一顶点类，在Γ′中它成为内点）．
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手术B 选定Γ上一个边对a，沿一条对角线a′剪开Γ成两块，使得每一块都有一条a，然后沿a将两块粘接得Γ′．
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图3-27（a）是沿一个反向对施用手术B，（b）是沿同向对作手术B．
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图3-27
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手术B不改变多边形的边数和顶点类数．
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以后将会看到，多边形表示有无同向对是一个要紧的性质．显然手术A不改变此性质．手术B也不改变这个性质．事实上，如对反向对施用手术B，Ⅰ和Ⅱ只须作平移即可粘接，因此原有边对不改变方向，而增加的a′对是反向的；如果对同向对作手术B，则必须翻转Ⅰ和Ⅱ中的一块才能粘接，因此新增边对a′是同向的．
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标准化的过程分为两个阶段．
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（一）减少多边形边数．
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