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1701043281 显然,有相同形式的多边形表示的闭曲面是相互同胚的.这给出了判定闭曲面同胚的一个途径.但是,每个闭曲面有许多不相同的多边形表示,这给上述判定方法的使用造成了困难.为此,我们提出“标准多边形表示”这个概念,在这种表示中,要求粘合法则有一定的规律.标准多边形表示有两类,它们用文字形式写出为
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1701043286       a1a1a2a2…amam.     (Ⅱm)
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1701043288 我们下面将证明,除球面外,任一闭曲面都有标准表示;并说明有(Ⅰn)这种表示的是nT2型曲面,有(Ⅱm)这种表示的是mP2型曲面.
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1701043290 2.多边形表示的标准化
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1701043292 设S是一闭曲面,它有多边形表示(Γ,φ).我们要改造这个表示使之标准化.不妨设S不是球面、环面、射影平面和Klein瓶(已知道后三种闭曲面有标准表示),因此Γ的边数不会小于6(因为当边数为4时,只可能是上述几种曲面).
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1701043294 下面给出从(Γ,φ)出发,构造S的标准表示的程序.每一步都是用§2中已经使用多次的“剪接”技术.
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1701043296 先约定几个术语.
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1701043298 在(Γ,φ)中,Γ的在φ下要粘接的边对称为同向对,如果两边标有相同的方向,否则称反向对.例如在(Ⅰn)中,只出现反向对,(Ⅱm)中只有同向对.
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1701043300 Γ的所有顶点在粘合关系φ下分成若干等价类,称它们为顶点类.例如图3.25中的(a)、(b)和(d)都只有一个顶点类;(c)和(e)有两个顶点类;(f)有三个顶点类.
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1701043302 将使用两类剪接手术:
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1701043304 手术A 粘接相邻反向对.
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1701043309 图3-26
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1701043311 例如对图3-26中的多边形Γ粘接反向对a(其他边对暂不粘接),得新多边形Γ′,φ导出Γ′的粘合关系φ′.得到S的另一个表示(Γ′,φ′),它的边数比Γ少2,顶点类个数减少1(Γ的顶点A单独成一顶点类,在Γ′中它成为内点).
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1701043313 手术B 选定Γ上一个边对a,沿一条对角线a′剪开Γ成两块,使得每一块都有一条a,然后沿a将两块粘接得Γ′.
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1701043315 图3-27(a)是沿一个反向对施用手术B,(b)是沿同向对作手术B.
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1701043320 图3-27
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1701043322 手术B不改变多边形的边数和顶点类数.
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1701043324 以后将会看到,多边形表示有无同向对是一个要紧的性质.显然手术A不改变此性质.手术B也不改变这个性质.事实上,如对反向对施用手术B,Ⅰ和Ⅱ只须作平移即可粘接,因此原有边对不改变方向,而增加的a′对是反向的;如果对同向对作手术B,则必须翻转Ⅰ和Ⅱ中的一块才能粘接,因此新增边对a′是同向的.
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1701043326 标准化的过程分为两个阶段.
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1701043328 (一)减少多边形边数.
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