1701043813
1701043814
定理说明基本群是拓扑不变量．
1701043815
1701043816
2.4 基本群与基点的关系
1701043817
1701043818
基本群是由空间和基点共同决定的．那么同一空间在不同基点处的基本群有什么关系？下面回答这个问题．
1701043819
1701043820
先设x0与x1是在X的同一道路分支中的两点．设ω是从x0到x1的一个道路类．∀α∈π1（X，x0），ω-1αω∈π1（X，x1）．于是，由ω＃（α）＝ω-1αω规定了对应ω＃：π1（X，x0）→π1（X，x1）（图4-8）．
1701043821
1701043822
1701043823
1701043824
1701043825
图4-8
1701043826
1701043827
定理4.2 若ω是从x0到x1的道路类，则
1701043828
1701043829
（1）如果ω′是从x1到x2的道路类，则
1701043830
1701043831
1701043832
1701043833
1701043834
（2）ω＃：π1（X，x0）→π1（X，x1）是同构．
1701043835
1701043836
证明 （1）假设α∈π1（X，x0），
1701043837
1701043838
（ωω′）＃（α）＝（ωω′）-1αωω′＝ω′-1（ω-1αω）ω′
1701043839
1701043840
1701043841
1701043842
1701043843
（1）得到证明．
1701043844
1701043845
（2）任取α，β∈π1（X，x0），则
1701043846
1701043847
ω＃（α）ω＃（β）＝ω-1αωω-1βω
1701043848
1701043849
＝ω-1αβω（用命题4.8）
1701043850
1701043851
＝ω＃（αβ）
1701043852
1701043853
因此ω＃是同态．
1701043854
1701043855
1701043856
1701043857
1701043858
根据（1），显然是恒同同构；同理也是恒同同构．因此ω＃是同构，是它的逆． ▎
1701043859
1701043860
从定义容易看出，当ω∈π1（X，x0），ω＃是π1（X，x0）上的一个内自同构．
1701043861
1701043862
