1701044020
1701044021
1701044022
1701044023
1701044024
1701044025
证明 取a和b的提升和，使得规定则f是I上的连续函数，f（0）＝0．如果q（a）≠q（b），不妨设q（a）＞q（b），则f（1）＝q（a）－q（b）是自然数，从而有t∈I，使得即于是与条件矛盾． ▎
1701044026
1701044027
1701044028
1701044029
引理4 设a，b是S1上基点为z0的闭路，则
1701044030
1701044031
1701044032
1701044033
1701044034
1701044035
1701044036
证明 ．设记ht是H的t-切片，∀t∈I．由于H是一致连续的，存在δ＞0，使得｜t1－t2｜＜δ时，由引理3，于是q（ht）不依赖于t，q（a）＝q（h0）＝q（h1）＝q（b）．
1701044037
1701044038
1701044039
1701044040
1701044041
1701044042
1701044043
1701044044
1701044045
．作是a，b的提升，使得则因此是E1上有相同起终点的道路，从而 ▎
1701044046
1701044047
定理4.3 π1（S1，z0）是自由循环群．
1701044048
1701044049
证明 设α∈π1（S1，z0），规定q（α）＝q（a），a∈α，得到映射q：π1（S1，z0）→Z．
1701044050
1701044051
1701044052
1701044053
1701044054
1701044055
1701044056
1701044057
设α＝〈a〉，β＝〈b〉．作a，b的提升和，使得则是ab的提升．它的起、终点为和于是
1701044058
1701044059
1701044060
1701044061
1701044062
1701044063
1701044064
1701044065
1701044066
1701044067
1701044068
这说明q保持运算，是同态．引理4说明q是单同态．
1701044069