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当n≥2时，取Sn上两点x1，x2．记Xi＝Sn｛xi｝（i＝1，2），则是单连通的，是道路连通的．用推论，得出Sn是单连通的．
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3.3 T2的基本群
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T2＝S1×S1．我们先证明关于乘积空间基本群的一个定理，用它求出T2的基本群．
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定理4.4 设x0∈X，y0∈Y，则
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（右边记号“×”表示群的直积．）
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证明 规定φ：π1（X×Y，（x0，y0））→π1（X，x0）×π1（Y，y0）为φ（γ）＝（（jx）π（γ），（jy）π（γ））， ∀γ∈π1（X×Y，（x0，y0）），其中jx和jy分别是X×Y到X和Y的投射．φ显然是同态．
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φ是满同态 ∀α＝〈a〉∈π1（X，x0），β＝〈b〉∈π1（Y，y0），作X×Y中的闭路c为c（t）＝（a（t），b（t）），则（jx）π（〈c〉）＝〈jxc〉＝〈a〉＝α；同样地（jy）π（〈c〉）＝〈b〉＝β．于是φ（〈c〉）＝（α，β）．
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φ是单同态 设φ（γ）＝1，c∈γ．于是记规定F：I×I→X×Y为F（s，t）＝（H（s，t），G（s，t））．容易验证（e为（x0，y0）处的点道路），因此γ＝〈c〉＝1． ▎
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应用此定理到T2上，得到
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对任何正整数n，有
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推论
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证明 基本群是拓扑不变量，而因此 ▎
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习 题
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1．设映射f：S1→S1规定为f（z）＝－z．试描述同态fπ：π1（S1，1）→π1（S1，－1）．
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2．设f：S1→S1规定为f（z）＝zn，n∈Z．试描述同态fπ：π1（S1，1）→π1（S1，1）．
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3．设f，g：（S1，1）→（Y，y0）都连续，且fπ＝gπ：π1（S1，1）→π1（Y，y0），证明
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