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1．设Y道路连通，且π1（Y）是交换群．如果并且对x0∈X，f（x0）＝g（x0）＝y0．则
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fπ＝gπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）
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2．设f，g都是S1到S1的连续映射，并且都保持1∈S1不动．则
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3．设f：X→Y是一个同伦等价，则f的所有同伦逆构成Y到X的一个映射类．
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4．与道路连通空间同伦等价的拓扑空间也道路连通．
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5．π0（X）表示空间X的道路分支的集合．证明若则π0（X）与π0（Y）之间可建立一一对应．
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6．若B是A的形变收缩核，A是X的形变收缩核，则B也是X的形变收缩核．
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7．若B⊂A⊂X，A是X的收缩核，B是X的形变收缩核，则B也是A的形变收缩核．
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8．若X1，X2是X的两个闭子集，X1∪X2＝X，又X0＝X1∩X2非空，且是X的形变收缩核．则X0也是X1和X2的形变收缩核．
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9．设Y是可缩空间．证明任何拓扑空间到Y只有一个映射类．
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10．设X是Möbius带，A是它的边界，x0∈A．证明包含映射i：A→X诱导的同态iπ：π1（A，x0）→π1（X，x0）不是同构．
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11．证明Möbius带的边界不是它的收缩核．
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12．设x0是Dn的边界Sn-1上一点．证明Sn-1｛x0｝是Dn｛x0｝的形变收缩核．
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13．证明下列各空间互相同伦等价：
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（1）球面S2加一条直径（图4-25（a））；
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（2）在环面的一个纬圆上粘接一个圆盘（图4-25（b））；
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（3）球面S2加一圆周S1（它们相切，图4-25（c））．
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图4-25
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14．证明
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15．证明
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16．设ι是E3中一条直线．证明π1（E3ι）是自由循环群．
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