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记ai是x0处沿走一圈的闭路，则
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一般地，在中，记ai是在各圆交点x0处沿走一圈的闭路，则
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是秩为n的有限生成自由群．
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例2 计算闭曲面的基本群．
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图4-27
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以Klein瓶为例．矩形M按图4-27所示方式粘接两对邻边，得到的商空间X是Klein瓶．设A⊂X是由M的边界粘合成的子集，它是两个圆的圆束，记交点为x1．取XA中的一个圆盘，记作X2．记则对X，X1，X2可用定理的特殊情形（2），得到
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其中x0∈X0＝X1∩X2（是一圆周），d是x0处沿X0走一圈的闭路．A是X1的形变收缩核，从而包含映射i：A→X1导出同构iπ：π1（A，x1）→π1（X1，x1）．利用例1的结果，推出
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π1（X1，x1）＝F（〈a〉，〈b〉），
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〈a〉，〈b〉分别是图4-27中所示闭路a，b在X1中的闭路类．取ω是X1中从x0到x1的道路类，则同构ω＃把〈d〉映为ω-1〈d〉ω＝〈a〉2〈b〉2．于是
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用同样办法计算任何闭曲面的基本群，得到
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下面介绍基本群的几个应用．
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5.3 完成闭曲面分类定理3.4的证明
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闭曲面分类定理3.4证明的剩下部分是要说明不同类型闭曲面不同胚，为此只须说明它们的基本群不同构．两个群的不同构并不很容易从它们的结构判定，但交换群的不同构比较容易判定．为此我们求闭曲面基本群的交换化．关于群的交换化的有关概念和性质可在附录A中找到．群G的交换化记作利用命题A.11和A.12可以算出③
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