打字猴:1.70104472e+09
1701044720 1.设G1,G2,H是三个群.fi:Gi→H是同态(i=1,2).证明存一唯一同态φ:G1*G2→H,使得φ|Gi=fi(i=1,2).
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1701044722 2.设X1,X2是X的开集,X1∪X2=X,X0=X1∩X2非空,并且道路连通,x0∈X0.证明由(i1)π:π1(X1,x0)→π2(X,x0)和(i2)π:π1(X2,x0)→π1(X,x0)决定的同态φ:π1(X1,x0)*π1(X2,x0)→π1(X,x0)是满同态.
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1701044724 3.证明n>2时,En去掉有限个点后仍是单连通的.
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1701044726 4.求下列空间的基本群:
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1701044728 (1)E2中去掉3个点;
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1701044730 (2)S2中去掉3个点;
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1701044732 (3)T2上去掉3个点.
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1701044734 5.求下列空间的基本群:
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1701044736 (1)E3中去掉2条不相交直线;
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1701044738 (2)E3中去掉3条坐标轴;
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1701044740 (3)“田”字形.
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1701044742 6.把三角形的三条边按图4-30所示方式粘接在一起.求所得商空间的基本群.
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1701044744 7.证明:如果曲面M与N同胚,则它们的边界也同胚.并由此说明Möbius带与平环不同胚.
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1701044749 图4-30
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1701044751 8.设f:D2→E2连续.证明在下列条件之一成立时,f有不动点:
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1701044753 (1)f(S1)⊂D2;
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1701044755 (2)∀x∈S1,f(x),x与原点不共线;
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1701044758 (3)∀x∈S1,线段过原点.
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1701044760 9.设f:D2→D2连续,并且S1上每一点都不动,证明f是映满的.
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1701044766 10.记是E3中以(i,0,0)为球心,为半径的球面,(图4-31).证明X单连通.
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