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则f（0，0）＝1，记m1，m2，m3和m4分别是S1上在四个象限中的弧（图4-33）．记I×I四条边决定的道路为和如图中所标，则不难发现，的像在mi上．由此可看出是S1以1为基点的闭路，圈数为1．但是是I×I中的闭路，因此是π1（S1）的单位元，矛盾． ▎
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图4-33
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定理4.10的证明 证明分三步进行．
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第一步 证明E2\J不道路连通．
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取J上距离最大的两点A，B（即d（A，B）＝diamJ）．作矩形M，使得A，B恰好是它一双对边的中点，并且J包含在M中，只有A，B两点在M的边界上（图4-34）．把J被A，B分割成的两段分别记作J1和J2，它们都同胚于I，从而可看作M上从A到B的两条道路的像．根据引理，若C和D是M的上、下边的中点，则线段与J1和J2都相交．记P1是与J的最高交点，P2是最低交点．不妨设P1∈J1，则P2∈J2（否则可设计从C到D的M中一条道路如下：从C直下到P1，沿J1从P1到P2，再从P2直下到D，这条道路与J2无交点）．记P4是与J2的最高交点，P3是与J1的最低交点，则的内部无J上的点．取Q为的一内点．下面用反证法证明在E2\J中，Q与M外的部分不在同一分支中．如果有道路a与J不相交，且a（0）＝Q，a（1）在M外，则a与M的边界必相交．设第一个交点是E点，则E不是A，B，设E在边界上半部分．构造M中从D到C的道路如下：从D直上P2，沿J2从P2到P4，直上到Q，沿a到E，再沿M的边界的上半部分从E到C．这是一条与J1不相交的道路，与引理的结论相矛盾．
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图4-34
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第二步 证明E2\J的每个连通分支都以J为边界．
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对于E2\J的一个有界连通分支U，记就是U的边界．因为E2\J的每个连通分支都是开集，它们都与不相交，从而与∂U不相交，于是∂U⊂J．下面用反证法证∂U＝J．如果∂U≠J，则由于∂U是J的闭子集，一定存在J的一闭弧使得∂U⊂L．利用Tietze扩张定理，对于E2的闭集L，id：L→L可扩张为收缩映射r：E2→L．构造连续映射f：E2→E2如下：
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其中i：L→E2是包含映射（注意到当时，ir（x）＝x，这说明f的合理性）．是有界的，不妨设它在D2的内部．于是由f在D2上的限制得到D2的自映射f0：D2→D2，它在S1上不动，并且f0不满（因为U⊂D2，而且∀x，这与§5习题9的结果矛盾．
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对于无界分支U，证法相同，只须把f的定义修改为：