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对于E2\J的一个有界连通分支U，记就是U的边界．因为E2\J的每个连通分支都是开集，它们都与不相交，从而与∂U不相交，于是∂U⊂J．下面用反证法证∂U＝J．如果∂U≠J，则由于∂U是J的闭子集，一定存在J的一闭弧使得∂U⊂L．利用Tietze扩张定理，对于E2的闭集L，id：L→L可扩张为收缩映射r：E2→L．构造连续映射f：E2→E2如下：
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其中i：L→E2是包含映射（注意到当时，ir（x）＝x，这说明f的合理性）．是有界的，不妨设它在D2的内部．于是由f在D2上的限制得到D2的自映射f0：D2→D2，它在S1上不动，并且f0不满（因为U⊂D2，而且∀x，这与§5习题9的结果矛盾．
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对于无界分支U，证法相同，只须把f的定义修改为：
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第三步 证明只有两个分支．
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否则，存在E2\J的分支V，使得作M中从C到D的道路b为：从C直下到P1，沿J1从P1到P3，直下到P4，再沿J2到P2，直下D．则b不经过V，即V⊂Mb（I）．由引理，A，B在Mb（I）的不同分支中，而A，B都在J上，于是A，B和应在Mb（I）的同一分支中．这个矛盾否定了V的存在． ▎
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① 由t→ht决定了映射h∶I→C（X，Y）．在C（X，Y）上的一种特殊拓扑（所谓紧开拓扑）下，h是连续的．于是，一个同伦决定了C（X，Y）中的一条道路；反过来C（X，Y）中一条道路决定了一个同伦．
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② 这里出现的代数术语的定义都可参见附录A．
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③ 参看附录A最后的例1，例2．
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基础拓扑学讲义 [:1701040223]
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基础拓扑学讲义 第五章 复叠空间
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复叠空间（有的文献中称作复迭空间或覆盖空间）的理论，是代数拓扑学中的一个很小的分支．但是它的应用相当广泛，在代数拓扑学和低维流形中它都是很常用的工具，在分析学（如复变函数）中也很有用．它与基本群关系很密切，可用来计算某些空间的基本群．用复叠空间还能得到有关群的一些有趣的结果．
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基础拓扑学讲义 [:1701040224]
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§1 复叠空间及其基本性质
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1.1 复叠映射与复叠空间
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复叠映射的一个典型例子是映射p：E1→S1，xei2πx．这个映射在π1（S1）的计算中起了关键性作用．它的重要特性是：∀z∈S1，p-1（S1｛z｝）是E1上一族互不相交的开区间的并集，并且p把其中每个开区间同胚地映成S1｛z｝．粗略地说，复叠映射就是具有类似特性的映射．
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图5-1