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例4 图5-5是四个依次相切的圆周到两个相切圆周（字形空间）的一个复叠映射．它把两边的圆周分别映为字形的两个圆周，中间两个圆周各2幂地映到的两个圆周上（标有a，b的弧段分别映到a，b圆上）．叶数为3．
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图5-5
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设X是道路连通、局部道路连通的空间．设f：X→X是同胚映射，并且fn＝id，当0＜m＜n时，fm没有不动点．规定X上等价关系为：x与x′等价，如果存在ι，使fι（x）＝x′．记商空间为X/f，p：X→X/f是粘合映射．
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命题5.1 如果X是道路连通、局部道路连通的Hausdorff空间，则p：X→X/f是叶数等于n的复叠映射．
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证明 ∀y∈X/f，设p-1（y）＝｛x，f（x），…，fn-1（x）｝．因为X是Hausdorff空间，所以可取x的开邻域V，使得V，f（V），…，fn-1（V）两两不相交．记U＝p（V），则从而U是开集，并且p把fι（V）同胚地映为U（习题4），于是U是y的基本邻域． ▎
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例5 X的构造如图5-6．它由一个大圆周与n个与它外切的等半径小圆周构成，切点等分大圆周．记f：X→X是绕大圆心旋转角，则fn＝id．0＜m＜n时，fm无不动点．用命题5.1，得到/f和复叠映射p：X→X/f，叶数为n．X/f是字形．
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图5-6
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例6 图5-7是一个中心对称地放置在E3中的双环面F．设f：F→F为中心对称映射．则F/f是一个3P2型曲面（请自己证明，见习题7）．从而得到2T2曲面到3P2曲面的一个叶数为2的复叠映射．
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图5-7
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类似地对任意正整数n，可以构造nT2到（n＋1）P2的2叶复叠映射．
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1.2 映射提升问题
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在复叠空间理论中，映射的提升问题是一个核心问题．设p：E→B是复叠映射，X是一个拓扑空间．两个连续映射f：X→B和如果满足就称是f的一个提升．本节和下节将讨论各种情况下映射提升的存在性问题．先证明一个关于提升的唯一性的命题．
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定理5.1（提升唯一性定理） 设X连通．都是f：X→B的提升（关于复叠映射p：E→B的），并且在某一点则
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证明 记要证A＝X．因为X是连通的，A≠∅（x0∈A），所以只用证A是开集，也是闭集．
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