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证明 记要证A=X.因为X是连通的,A≠∅(x0∈A),所以只用证A是开集,也是闭集.
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(1)A是开集.设x1∈A,要证x1是A的内点.设由于p是局部同胚(习题6),存在e的开邻域V,使得p|V是嵌入映射.记它是x1的开邻域.∀x∈W,且由于p|V是嵌入,得从而W⊂A,x1是A的内点.
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(2)A是闭集,即Ac是开集.设x1∈Ac,要证x1是Ac的内点.记则e1≠e2.又p(ei)=f(x1),i=1,2.由复叠映射的定义知,存在e1,e2的不相交的开邻域V1,V2,记则W是x1的开邻域.∀x∈W,分别在V1,V2中,因此不相同.于是W⊂Ac.x1是Ac的内点. ▎
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命题5.2 设a是B中的道路,a(0)=b,e∈p-1(b),则存在a的唯一提升使得
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证明可用第四章§3引理2的方法构造.唯一性由定理5.1推出. ▎
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命题5.3 a,b是B上的两条道路,和分别是a和b的提升,且则
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这个命题是下节中的同伦提升定理的推论.证明在下节中补,先用它来讨论复叠空间的基本群.
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1.3 复叠空间的基本群
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取定e∈E,记b=p(e).命题5.2说明,E上以e为起点的所有道路的集合与B上以b为起点的所有道路的集合间有一一对应关系:命题5.3说明,上述对应保持定端同伦关系,因此它导出E上以e为起点的道路类的集合与B上以b为起点的道路类的集合间的一一对应pπ.记L(e)是E上以e为起点,终点在p-1(b)中的道路类的集合,则pπ(L(e))=π1(B,b).限制pπ在π1(E,e)上,得到
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命题5.4 pπ:(π1(E,e))→π1(B,b)是单同态. ▎
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规定He:=pπ(π1(E,e)),它是π1(B,b)的子群.
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命题5.5 He在π1(B,b)中的指数[π1(B,b):He]等于复叠映射p的叶数.
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证明 [π1(B,b):He]就是π1(B,b)中He的右陪集的“个数”.而p的叶数是p-1(b)中的“点数”.下面构造从p-1(b)到He的全部右陪集的集合π1(B,b)/He的一个一一对应η,从而完成证明.
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图5-8
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