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证明 记要证A＝X．因为X是连通的，A≠∅（x0∈A），所以只用证A是开集，也是闭集．
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（1）A是开集．设x1∈A，要证x1是A的内点．设由于p是局部同胚（习题6），存在e的开邻域V，使得p｜V是嵌入映射．记它是x1的开邻域．∀x∈W，且由于p｜V是嵌入，得从而W⊂A，x1是A的内点．
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（2）A是闭集，即Ac是开集．设x1∈Ac，要证x1是Ac的内点．记则e1≠e2．又p（ei）＝f（x1），i＝1，2．由复叠映射的定义知，存在e1，e2的不相交的开邻域V1，V2，记则W是x1的开邻域．∀x∈W，分别在V1，V2中，因此不相同．于是W⊂Ac．x1是Ac的内点． ▎
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命题5.2 设a是B中的道路，a（0）＝b，e∈p-1（b），则存在a的唯一提升使得
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证明可用第四章§3引理2的方法构造．唯一性由定理5.1推出． ▎
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命题5.3 a，b是B上的两条道路，和分别是a和b的提升，且则
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这个命题是下节中的同伦提升定理的推论．证明在下节中补，先用它来讨论复叠空间的基本群．
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1.3 复叠空间的基本群
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取定e∈E，记b＝p（e）．命题5.2说明，E上以e为起点的所有道路的集合与B上以b为起点的所有道路的集合间有一一对应关系：命题5.3说明，上述对应保持定端同伦关系，因此它导出E上以e为起点的道路类的集合与B上以b为起点的道路类的集合间的一一对应pπ．记L（e）是E上以e为起点，终点在p-1（b）中的道路类的集合，则pπ（L（e））＝π1（B，b）．限制pπ在π1（E，e）上，得到
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命题5.4 pπ：（π1（E，e））→π1（B，b）是单同态． ▎
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规定He：＝pπ（π1（E，e）），它是π1（B，b）的子群．
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命题5.5 He在π1（B，b）中的指数［π1（B，b）：He］等于复叠映射p的叶数．
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证明 ［π1（B，b）：He］就是π1（B，b）中He的右陪集的“个数”．而p的叶数是p-1（b）中的“点数”．下面构造从p-1（b）到He的全部右陪集的集合π1（B，b）/He的一个一一对应η，从而完成证明．
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图5-8
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