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例4构造的复叠映射的底空间的基本群是秩为2的自由群，而复叠空间的基本群是秩为4的自由群．
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事实上用构造字形的复叠空间的方法可以说明，秩为2的自由群有秩为任意正整数的自由子群，也有秩为无穷可数的自由子群．
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习 题
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1．设p：E→B是复叠映射，证明p是开映射（从而是商映射）．
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2．设p：E→B是复叠映射，证明纤维的势（基数）＃p-1（b）与b∈B的选择无关．
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3．设p：E→B是复叠映射，U⊂B是开集，设h：U→E是U上的一个截面（即h是包含映射i：U→B的提升），证明h（U）是E的开集．
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4．验证命题5.1中的p是开映射．
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5．设pi：Ei→Bi是复叠映射，i＝1，2．证明p1×p2：E1×E2→B1×B2也是复叠映射．
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6．设p：E→B是复叠映射，证明p是局部同胚的（即∀e∈E，有e的开邻域V，使得p｜V：V→p（V）是同胚）．
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7．证明例6中的F/f是3P2型曲面．
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8．对于实数a＜b，作p：（a，b）→S1为p（x）＝ei2πx．p是不是复叠映射？
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9．p：［a，b］→S1，xei2πx是不是复叠映射？
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10．试构造T2到T2的一个2叶复叠映射，并构造从T2到Klein瓶的一个2叶复叠映射．
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11．试构造字形上的两个不同形式的4叶复叠映射．
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12．设p：E→B是复叠映射，X连通．证明从X到B的常值映射的提升也一定是常值映射．
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13．设p：E→B是复叠映射，U是B的道路连通子集，V是p-1（U）的一个道路分支．证明p（V）＝U．
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14．设p：E→B是复叠映射，V是E的道路连通开子集，U＝p（V）．如果包含映射i：U→B诱导的基本群同态iπ：π1（U）→π1（B）是平凡的，则p｜V：V→U是同胚映射．
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15．拓扑空间X的子集A称为半单连通子集，如果A道路连通，并且包含映射诱导的基本群同态iπ：π1（A）→π1（X）是平凡的．证明复叠空间的底空间的半单连通的开子集一定是基本邻域．
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16．如果拓扑空间X的每一点都有半单连通的邻域，就说X是局部半单连通的．证明当底空间B是局部半单连通时，复叠空间E也是局部半单连通的．
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17．设都是复叠映射，并且B是局部半单连通的，则也是复叠映射．
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18．设都是复叠映射，并且p是有限叶的，证明也是复叠映射．
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