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例4构造的复叠映射的底空间的基本群是秩为2的自由群,而复叠空间的基本群是秩为4的自由群.
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事实上用构造字形的复叠空间的方法可以说明,秩为2的自由群有秩为任意正整数的自由子群,也有秩为无穷可数的自由子群.
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习 题
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1.设p:E→B是复叠映射,证明p是开映射(从而是商映射).
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2.设p:E→B是复叠映射,证明纤维的势(基数)#p-1(b)与b∈B的选择无关.
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3.设p:E→B是复叠映射,U⊂B是开集,设h:U→E是U上的一个截面(即h是包含映射i:U→B的提升),证明h(U)是E的开集.
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4.验证命题5.1中的p是开映射.
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5.设pi:Ei→Bi是复叠映射,i=1,2.证明p1×p2:E1×E2→B1×B2也是复叠映射.
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6.设p:E→B是复叠映射,证明p是局部同胚的(即∀e∈E,有e的开邻域V,使得p|V:V→p(V)是同胚).
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7.证明例6中的F/f是3P2型曲面.
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8.对于实数a<b,作p:(a,b)→S1为p(x)=ei2πx.p是不是复叠映射?
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9.p:[a,b]→S1,xei2πx是不是复叠映射?
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10.试构造T2到T2的一个2叶复叠映射,并构造从T2到Klein瓶的一个2叶复叠映射.
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11.试构造字形上的两个不同形式的4叶复叠映射.
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12.设p:E→B是复叠映射,X连通.证明从X到B的常值映射的提升也一定是常值映射.
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13.设p:E→B是复叠映射,U是B的道路连通子集,V是p-1(U)的一个道路分支.证明p(V)=U.
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14.设p:E→B是复叠映射,V是E的道路连通开子集,U=p(V).如果包含映射i:U→B诱导的基本群同态iπ:π1(U)→π1(B)是平凡的,则p|V:V→U是同胚映射.
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15.拓扑空间X的子集A称为半单连通子集,如果A道路连通,并且包含映射诱导的基本群同态iπ:π1(A)→π1(X)是平凡的.证明复叠空间的底空间的半单连通的开子集一定是基本邻域.
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16.如果拓扑空间X的每一点都有半单连通的邻域,就说X是局部半单连通的.证明当底空间B是局部半单连通时,复叠空间E也是局部半单连通的.
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17.设都是复叠映射,并且B是局部半单连通的,则也是复叠映射.
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18.设都是复叠映射,并且p是有限叶的,证明也是复叠映射.
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