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其次证明的连续性．∀x∈X，设V是的邻域，不妨设p（V）是基本邻域，并且p｜V∶V→U是同胚．因为f-1（U）是x的开邻域，且X是局部道路连通的，所以可找到x的道路连通的邻域W，使得f（W）⊂U．∀x′∈W，取v是W中从x到x′的道路，记它是fv的以为起点的提升．记w是从x0到x的道路，是fw的以e0为起点的提升，则wv从x0到x′，是fwv的提升．由的定义，这就证明了在x连续． ▎
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例1 设p∶Sn→Pn是上节例2规定的复叠映射（n≥2），f∶Pn→Pn是连续映射，则存在连续映射使得即右边的映射图表交换．理由如下：
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考察映射fp∶Sn→Pn，因为Sn是单连通的，所以fp满足定理5.3的充要条件，从而存在它的提升即有连续映射Sn→Sn，使得由于p∶Sn→Pn是两叶的，这样的有两个．
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例2 设n≥2，则Sn到S1只有一个映射类．
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设f和g都是从Sn到S1的连续映射，设p∶E1→S1为p（t）＝ei2πt．因为Sn是单连通的，根据定理5.3，存在f和g关于p的提升和由于E1是凸集，从而
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例3 证明P2到S1的每个连续映射都零伦．
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设f∶P2→S1连续，导出fπ∶π1（P2）→π1（S1）．因为没有2阶元素，所以Imfπ是π1（S1）的平凡子群．因而f满足定理5.3的条件，有提升是零伦的，因此f也零伦．
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2.3 复叠空间的分类
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现在考察底空间相同的诸复叠空间之间的关系．设（E1，p1）和（E2，p2）都是B上的复叠空间．如果一个连续映射h∶E1→E2满足p2h＝p1（即h是p1关于p2∶E2→B的一个提升），则称h是（E1，p1）到（E2，p2）的同态．如果同态h是一个同胚映射，则称为同构．当从（E1，p1）到（E2，p2）有同构时，就称它们是等价的．