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设f和g都是从Sn到S1的连续映射，设p∶E1→S1为p（t）＝ei2πt．因为Sn是单连通的，根据定理5.3，存在f和g关于p的提升和由于E1是凸集，从而
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例3 证明P2到S1的每个连续映射都零伦．
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设f∶P2→S1连续，导出fπ∶π1（P2）→π1（S1）．因为没有2阶元素，所以Imfπ是π1（S1）的平凡子群．因而f满足定理5.3的条件，有提升是零伦的，因此f也零伦．
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2.3 复叠空间的分类
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现在考察底空间相同的诸复叠空间之间的关系．设（E1，p1）和（E2，p2）都是B上的复叠空间．如果一个连续映射h∶E1→E2满足p2h＝p1（即h是p1关于p2∶E2→B的一个提升），则称h是（E1，p1）到（E2，p2）的同态．如果同态h是一个同胚映射，则称为同构．当从（E1，p1）到（E2，p2）有同构时，就称它们是等价的．
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取b∈B．§1中已说明，当p∶E→B是复叠映射时，｛He＝pπ（π1（E，e））｜e∈p-1（b）｝是π1（B，b）的一个子群共轭类．
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命题5.7 设（Ei，pi）是B上的复叠空间（i＝1，2），b∈B．则（E1，p1）与（E2，p2）等价它们决定π1（B，b）的同一个子群共轭类．
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证明 ．设h∶E1→E2是同构．取e2＝h（e1），则
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（p1）π（π1（E1，e1））＝（p2）πhπ（π1（E1，e1））＝（p2）π（π1（E2，e2））．于是（E1，p1）和（E2，p2）所决定的子群共轭类都是（p1）π（π1（E1，e1））所在的那个共轭类．
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．取使得（p1）π（π1（E1，e1））＝（p2）π（π1（E2，p2））．则由定理5.3，得到同态h∶E1→E2和k∶E2→E1，使得h（e1）＝e2，k（e2）＝e1．于是，kh∶E1→E1是E1的自同态，满足kh（e1）＝e1．而id∶E1→E1也是满足id（e1）＝e1的自同态．根据提升唯一性定理，kh＝id．同理hk也是恒同映射．因此h是同胚，（E1，p1）与（E2，p2）等价． ▎
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习 题
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1．设p∶E→B是复叠映射，X连通．设f∶X→B是零伦的连续映射，证明f有提升，并且每个提升都是零伦的．
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2．设p∶E→B是复叠映射，U是B的道路连通开集，并且包含映射i∶U→B导出的基本群同态iπ∶π1（U）→π1（B）是平凡的，则U是基本邻域．
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3．设f∶S2→T2连续，证明f零伦．
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4．证明P2到T2只有一个映射类．
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5．设pi∶Ei→B是复叠映射（i＝1，2），并且有（E1，p1）到（E2，p2）的同态h∶E1→E2，证明h是复叠映射．
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