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事实上，当（E，p）是B上的正则复叠空间时，∀e′∈E，都是π1（B，p（e′））的正规子群．这是因为从e到e′的道路类导出的同构和导出的同构使图表交换，于是是π（B，p（e′））的正规子群．
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因为正规子群只和自己共轭，所以对于正则复叠空间，当e，e′在同一纤维中时，即∀b∈B，∀e∈p-1（b）决定π1（B，b）的同一正规子群He，以后将它记作Hb．
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从命题5.8容易推出，（E，p）是B上的正则复叠空间的充要条件是：∀e，e′∈E，如果p（e）＝p（e′），则存在复叠变换把e映为e′．
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例2 把S3看作2维复空间C2中的单位球面
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S3＝｛（z1，z2）｜‖z1‖2＋‖z2‖2＝1｝．
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作f∶S3→S3为其中p，q为自然数，（p，q）＝1（p，q互素）．则f是周期同胚，fp＝id，并且当1≤r＜p时，fr没有不动点（因为和都不是整数，并且z1，z2不能都为0）．记商空间S3/f为L（p，q），称为透镜空间．根据命题5.1，粘合映射π∶S3→L（p，q）是复叠映射，并且f是复叠变换．每个纤维都是S3在f作用下的轨道（即点集｛x，f（x），…，fp－1（x）｝），于是同一纤维中任何两点e和e′都有复叠变换（f的幂）把e映为e′．因此π是正则复叠映射．
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不难看出，L（2，1）＝P3．
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一般地，命题5.1中所给出的复叠映射p∶X→X/f都是正则的．因此，§1中例1，例2，例5和例6给出的都是正则复叠映射．
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p：E1→S1，xei2πx和§1例3给出的也都是正则复叠映射．
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定理5.4 若p：E→B是正则复叠映射，b∈B，则
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证明 因为Hb是π1（B，b）的正规子群，所以π1（B，b）/Hb是商群．把α∈π1（B，b）所代表的π1（B，b）/Hb中的元素记作［α］．由于p是正则的，（E，p）与p-1（b）之间可建立一一对应关系ξ如下：取定e∈p-1（b），∀h∈（E，p），令ξ（h）＝h（e）∈p-1（b）．命题5.5的证明中，我们已建立从p-1（b）到π1（B，b）/Hb的一一对应η．作θ＝ηξ：（E，p）→π1（B，b）/Hb，它是一一对应．只用再验证θ是同态．
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按照定义，∀h∈（E，p），取E中从e到h（e）的道路类α，则θ（h）＝［pπ（α）］（图5-11（a））．
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图5-11
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设h，h′∈（E，p）．分别取α和α′是E中从e到h（e）和h′（e）的道路类，则就得是从h′（e）到h′h（e）的道路类．于是从e到h′h（e）（图5-11（b）），从而